Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{-1}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-2}{3}$ và ${\Delta }_2:\frac{x-5}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z+2}{-1}$.

Một nhà kho được minh họa như hình bên, trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), Biết nhà kho có chiều cao bằng $9m$, hai mái $EFIK,HGIK$ là hai hình chữ nhật có kích thước bằng nhau, các bức tường tạo thành hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$, $AB=10m$, $AD=24m$, $AE=7m$. Khi đó côsin của góc dốc mái nhà (góc $\widehat{IFG}$) bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng

$$d_1:\frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2};d_2:\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=1\\ z=1-t\end{array},t\in R.$$

Tính góc giữa hai đường thẳng $d_1,d_2$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường phẳng $d_1:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+1}{1}$, $d_2:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=5-t\\ z=2t\end{array}$. Góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+3}{2}$; ${\Delta }_2:\frac{x+4}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{-1}$ và hai điểm $A(-1;4;-5)$, $B(1;2;3)$.

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 4. Lấy $H$, $K$ lần lượt trên các cạnh $AB$, $AD$ sao cho $BH=3HA$, $AK=3KD$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $H$ lấy điểm $S$ sao cho $\widehat{SBH}=30^{\circ }$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Gọi $E$ là giao điểm của $CH$ và $BK$, cosin của góc giữa hai đường thẳng $SE$ và $BC$ bằng $\frac{m}{n\sqrt{39}}$ với $m\in \mathbb{Z};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $T=2m-n=31$.
b) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{16\sqrt{3}}{3}$.
c) $SH=\sqrt{3}$.
d) Khoảng cách giữa $AB$ và $SD$ bằng $\frac{4\sqrt{57}}{19}$.