Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I(1;2;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-2y-z-8=0$ có phương trình $(C):x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Tính giá trị của biểu thức $a+b+c+2d$.

Trong không gian $Oxyz$, người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng một phần của mặt cầu bằng phần mềm 3D. Cho phương trình bề mặt của lều là $(S):(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-1{)}^2=9$ và sàn của lều nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Tính bán kính đường tròn sàn của lều (làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị của các trục tọa độ là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $(-64;128;64)$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát không quá $500$ km thì sẽ hiển thị trên màn hình rada. Một máy bay $N$ xuất hiện trên màn hình rada và một máy bay $M$ nằm trong mặt phẳng $(P):x-2y+2z-1458=0$ sao cho hai máy bay $M,N$ thuộc đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;1)$. Khoảng cách lớn nhất giữa hai máy bay $M,N$ là bao nhiêu km? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ với đơn vị trên mỗi trục là dm, mặt ngoài của một quả bóng được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=6$. Quả bóng nằm yên trên sàn nhà. Người ta nhìn thấy một tấm ván ngã xuống đè lên quả bóng, phần giao của tấm ván và sàn nhà là đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-2+2t\\ y=-1-3t\\ z=t\end{array}$. Gọi $A$, $B$ lần lượt là hai tiếp điểm của tấm ván, sàn nhà với quả bóng và $I$ là tâm quả bóng.

Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y-2z+7=0$, điểm $A(6;9;5)$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{5}=\frac{z+5}{3}$.

Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể bất kỳ trong không gian. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp, một vệ tinh đang ở vị trí tọa độ $A(-1;-3;-5)$ thường xuyên truyền tín hiệu đến các trạm thu ở các vị trí $B(-1;1;-1)$ và $C(1;-1;-1)$ trên mặt đất. Biết rằng mặt đất được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu: $$(S):x^2+y^2+z^2=3.$$ Người ta xác định được tọa độ điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài $MA+MB+MC$ là nhỏ nhất. Tính giá trị $2a-6b-8c$ và làm tròn đến hàng phần chục?

Trong một trò chơi điện tử, người chơi điều khiển một "Quả cầu năng lượng" bảo vệ có dạng mặt cầu $(S)$ có bán kính thay đổi. Lỗi hệ thống yêu cầu quả cầu này phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: mặt ngoài của quả cầu luôn tiếp xúc với một bức tường năng lượng phẳng $(P):x+y-2z=0$, đồng thời mặt cầu luôn đi qua hai điểm cảm biến cố định $M(-1;-1;2),N(1;1;2)$. Gọi $I$ là tâm mặt cầu và $D$ là tiếp điểm của mặt cầu $(S)$ với mặt phẳng $(P)$.



a) $\overrightarrow{MN}=(2;2;0)$.
b) Đường thẳng $MN$ cắt bức tường năng lượng $(P)$ tại điểm $E(2;2;2)$.
c) Trong suốt quá trình di chuyển, tâm $I$ của quả cầu năng lượng luôn thuộc mặt phẳng $(\alpha ):x+y=0$.
d) Tâm $I$ của quả cầu năng lượng di chuyển trên một đường cong có diện tích bằng $3\pi \sqrt{6}$.