Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ với đơn vị trên mỗi trục là dm, mặt ngoài của một quả bóng được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=6$. Quả bóng nằm yên trên sàn nhà. Người ta nhìn thấy một tấm ván ngã xuống đè lên quả bóng, phần giao của tấm ván và sàn nhà là đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-2+2t\\ y=-1-3t\\ z=t\end{array}$. Gọi $A$, $B$ lần lượt là hai tiếp điểm của tấm ván, sàn nhà với quả bóng và $I$ là tâm quả bóng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình mặt cầu $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=6$ ta có tâm $I(2;-1;-1)$, bán kính $R=\sqrt{6}$ (dm). Vì quả bóng nằm yên trên sàn và tấm ván đè lên bóng, cả sàn nhà và tấm ván đều là hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu và cùng đi qua đường thẳng $d$ (giao của chúng).

**d)** Tâm quả bóng là $I(2;-1;-1)$ chứ không phải $I(2;1;1)$ → khẳng định d SAI.

**b)** Đường thẳng $d$ đi qua $P(-2;-1;0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-3;1)$. Ta có $\overrightarrow{PI}=(4;0;-1)$, $\vec{u}\times \overrightarrow{PI}=(3;6;12)$, $|\vec{u}\times \overrightarrow{PI}|=\sqrt{189}$, $|\vec{u}|=\sqrt{14}$. Khoảng cách $d(I,d)=\frac{\sqrt{189}}{\sqrt{14}}=\sqrt{13.5}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$ → khẳng định b ĐÚNG.

**a), c)** Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $I$ xuống $d$. Hai mặt phẳng tiếp diện (sàn và tấm ván) cắt mặt phẳng $(\perp d)$ qua $I$ theo hai tiếp đường kẻ từ $H$ đến đường tròn tâm $I$ bán kính $R$. Xét tứ giác $IAHB$ có $\widehat{IAH}=\widehat{IBH}=90^{\circ }$ nên $\widehat{AIB}+\widehat{AHB}=180^{\circ }$. Trong tam giác vuông $IAH$: $\sin \widehat{AHI}=\frac{R}{IH}=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{6}/2}=\frac{2}{3}$, suy ra $\widehat{AHB}=2\arcsin \frac{2}{3}$ và $\cos \widehat{AHB}=1-2\cdot \frac{4}{9}=\frac{1}{9}$. Do đó $\cos \widehat{AIB}=-\frac{1}{9}$, tức $a=-1,b=9$ (tối giản) và $a^2+b^2=1+81=82\ne 80$ → khẳng định a SAI.

Con kiến bò trên mặt cầu từ $A$ đến $B$ theo cung tròn ngắn nhất có độ dài $R\cdot \widehat{AIB}=\sqrt{6}\cdot \arccos \left(-\frac{1}{9}\right)\approx \sqrt{6}\cdot 1.68214\approx 4.1203$ dm $=41.2$ cm. Với tốc độ 2 cm/s, thời gian ngắn nhất $\approx \frac{41.2}{2}\approx 20.6\approx 21$ giây → khẳng định c ĐÚNG.

Kết luận: a SAI, b ĐÚNG, c ĐÚNG, d SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng (sàn nhà và tấm ván) đều tiếp xúc mặt cầu và cùng chứa đường thẳng $d$. Với $H$ là chân đường vuông góc từ $I$ xuống $d$, $IH=\frac{3\sqrt{6}}{2}$, tứ giác $IAHB$ nội tiếp nên $\widehat{AIB}=180^{\circ }-\widehat{AHB}$. Vì $\sin \widehat{AHI}=\frac{R}{IH}=\frac{2}{3}$ nên $\cos \widehat{AHB}=1-2\cdot \frac{4}{9}=\frac{1}{9}$, suy ra $\cos \widehat{AIB}=-\frac{1}{9}$. Khi đó $a=-1,b=9$ và $a^2+b^2=82\ne 80$ → SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(-2;-1;0)\in d$, $\vec{u}=(2;-3;1)$, $\overrightarrow{PI}=(4;0;-1)$. $\vec{u}\times \overrightarrow{PI}=(3;6;12)$, $|\vec{u}\times \overrightarrow{PI}|=\sqrt{189}$, $|\vec{u}|=\sqrt{14}$. Khoảng cách $d(I,d)=\frac{\sqrt{189}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{27}{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$ → ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường ngắn nhất trên mặt cầu là cung nhỏ $AB$ có độ dài $R\cdot \widehat{AIB}=\sqrt{6}\arccos \left(-\frac{1}{9}\right)\approx 4.1203$ dm $=41.2$ cm. Thời gian $\approx \frac{41.2}{2}\approx 20.6\approx 21$ giây → ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=6$ ta có tâm $I(2;-1;-1)$, $R=\sqrt{6}$. Tâm $I(2;1;1)$ là sai → SAI.