Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 4. Lấy $H$, $K$ lần lượt trên các cạnh $AB$, $AD$ sao cho $BH=3HA$, $AK=3KD$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $H$ lấy điểm $S$ sao cho $\widehat{SBH}=30^{\circ }$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Gọi $E$ là giao điểm của $CH$ và $BK$, cosin của góc giữa hai đường thẳng $SE$ và $BC$ bằng $\frac{m}{n\sqrt{39}}$ với $m\in \mathbb{Z};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $T=2m-n=31$.
b) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{16\sqrt{3}}{3}$.
c) $SH=\sqrt{3}$.
d) Khoảng cách giữa $AB$ và $SD$ bằng $\frac{4\sqrt{57}}{19}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;4;0)$, $C(4;4;0)$. Vì $BH=3HA$ nên $HA=1$, $H(1;0;0)$; vì $AK=3KD$ nên $AK=3$, $K(0;3;0)$.

c) Tam giác $SBH$ vuông tại $H$ (vì $SH\perp (ABCD)$), có $\widehat{SBH}=30^{\circ }$, $BH=3$ nên $SH=BH\tan 30^{\circ }=\sqrt{3}$. Đúng.

b) $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$, thể tích $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot 8\cdot \sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\ne \frac{16\sqrt{3}}{3}$. Sai.

a) $S(1;0;\sqrt{3})$. Đường $CH$: $(4-3t;4-4t)$; đường $BK$: $(4-4s;3s)$. Giải hệ được $s=\frac{12}{25}$, $t=\frac{16}{25}$, nên $E\left(\frac{52}{25};\frac{36}{25};0\right)$. Vectơ $\overrightarrow{SE}=\left(\frac{27}{25};\frac{36}{25};-\sqrt{3}\right)$, $|\overrightarrow{SE}{|}^2=\frac{729+1296}{625}+3=\frac{156}{25}$, $|\overrightarrow{SE}|=\frac{2\sqrt{39}}{5}$. Vì $BC\parallel y$ nên $\cos (SE,BC)=\frac{36/25}{2\sqrt{39}/5}=\frac{18}{5\sqrt{39}}$. Vậy $m=18$, $n=5$, $T=2\cdot 18-5=31$. Đúng.

d) Đường $AB$: qua $A(0;0;0)$, $\vec{u}=(1;0;0)$; đường $SD$: qua $S(1;0;\sqrt{3})$, $\vec{v}=(-1;4;-\sqrt{3})$. $\vec{u}\times \vec{v}=(0;\sqrt{3};4)$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=\sqrt{19}$, $\overrightarrow{AS}=(1;0;\sqrt{3})$. Khoảng cách $=\frac{|\overrightarrow{AS}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{\sqrt{19}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{4\sqrt{57}}{19}$. Đúng.

Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ $E\left(\frac{52}{25};\frac{36}{25};0\right)$, $\cos (SE,BC)=\frac{18}{5\sqrt{39}}$, nên $m=18,n=5$, $T=36-5=31$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot 8\cdot \sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\ne \frac{16\sqrt{3}}{3}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$SH=BH\tan 30^{\circ }=3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa $AB$ và $SD$ tính bằng công thức vectơ $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{4\sqrt{57}}{19}$. Đúng.