Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$. Xác định góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AP$.

Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=AC=a$ và cạnh bên $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Khi đó góc giữa hai đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và $AC$ bằng

Trên một sân khấu ca nhạc, kỹ thuật viên đã thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị mét). Hai đèn follow tạo ra hai tia sáng lần lượt có phương trình là $d_1:\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=2-t\\ z=-1+2t\end{array}$ ($t$ là tham số) và $d_2:\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{2}$. Tính góc giữa hai tia sáng $d_1$ và $d_2$ và làm tròn đến hàng phần chục của độ.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{2}$ và $d_2:\frac{x+1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{1}$. Góc giữa hai đường thẳng đó bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$; cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SB=a$. Gọi $H$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $SH=3HC$; lấy $I,K$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AC$ và $BC$.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $IK$.
b) Chứng minh cạnh $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(AHK)$

Trong không gian $Oxyz$, cho 2 đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-t\\ z=2\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t^{\prime }\\ z=2-t^{\prime }\end{array}$. Góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$. Tính $\cos in$ của góc giữa hai đường thẳng có phương trình lần lượt là $d_1:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}$, $d_2:\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{9}$.