Cho một hình vuông có cạnh bằng $a$. Người ta nối trung điểm các cạnh của hình vuông đó để tạo ta một hình vuông nhỏ hơn. Từ hình vuông này, người ta lại thực hiện công việc như trên để tạo ra một hình vuông nhỏ hơn nữa và cứ thực hiện công việc như thế mãi mãi. Tính tổng của tất cả các diện tích hình vuông đó.

Xét dãy vô hạn các hình vuông $V_1,V_2,V_3\dots$ được đặt kề nhau như hình vẽ. Trong đó, $V_1$ có cạnh bằng 1 và kể từ hình vuông thứ hai trở đi, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{3}{4}$ cạnh hình vuông kề trước nó. Một con kiến xuất phát từ đỉnh $A$ của $V_1$, đi ngang sang phải và dọc xuống dưới theo các nét tô đậm của tất cả các hình vuông. Tính quãng đường đi được của con kiến.

Cho $S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\cdots +{\left(\frac{-1}{3}\right)}^{n-1}+\cdots$. Tính giá trị $4S$.

Tính tổng $S=1+\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\dots +{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\dots$

Tổng $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...$ bằng

Tổng $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...$ bằng

Tìm dạng hữu tỉ của số thập phân vô hạn tuần hoàn $P=2,\mathrm{13131313...}$