Cho dãy số $\{u_n\}$ xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2026}+u_n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$
Tính: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+\cdots +\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)$.

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{9}{8}\\ 3(n+3{)}^2{x}_n=3n^2{x}_{n+1}-(2n+3)x_{n+1}{x}_n,\forall n\ge 1\end{array}$$
Tìm $\lim x_n$.

Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $$\{\begin{array}{l}{a}_0=2027\\ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n+1},\forall n\in \mathbb{N}.\end{array}$$
a) Chứng minh rằng dãy số $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Xét dãy số $(b_n)$ xác định bởi: $b_n=\sum _{i=0}^n\frac{a_i}{a_i+1}$, $\forall n\in \mathbb{N}$. Tìm tất cả các số tự nhiên $m$ sao cho tồn tại $n\in \mathbb{N}$ để $\left[b_n\right]=m$ (trong đó, $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).

Cho $S_n=\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+....+\frac{n}{n}$.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có $\lim u_n=-3$. Giá trị của $\lim \frac{\sqrt{u_n^2+16}-5}{u_n^2+4u_n+3}$ bằng

Kết quả của ${\lim }_{n\to +\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ bằng

Cho dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ thoả $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=-4$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }(u_n+v_n)$ bằng