Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${\log }_4(x+y)={\log }_{2}x+{\log }_{2}y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+y^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết: ${\log }_4(x+y)={\log }_{2}x+{\log }_{2}y\iff \frac{1}{2}{\log }_2(x+y)={\log }_2(xy)\iff \sqrt{x+y}=xy$. Đặt $p=xy>0$, khi đó $x+y=p^2$. Điều kiện có nghiệm dương: $x+y\ge 2\sqrt{xy}\iff p^2\ge 2\sqrt{p}\iff p^3\ge 4\iff p\ge \sqrt[3]{4}$. Ta có $P=x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=p^4-2p$. Xét $f(p)=p^4-2p$ trên $[\sqrt[3]{4};+\infty )$: $f^{\prime }(p)=4p^3-2>0$ (vì $p\ge \sqrt[3]{4}>\sqrt[3]{2}$), nên $f$ đồng biến, min tại $p=\sqrt[3]{4}$: $P_{\min }=4\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{4}=2\sqrt[3]{4}$. Dấu bằng khi $x=y=\sqrt[3]{2}$ (kiểm tra: $x+y=2\sqrt[3]{2}$, $\sqrt{xy}=\sqrt[3]{2}$... thực tế $xy=\sqrt[3]{4}$, $\sqrt{x+y}=\sqrt{2\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{4}$ thỏa mãn). Vậy $\min P=2\sqrt[3]{4}$.