Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $5\left(\frac{\sin x+\sin 3x}{2\sin 2x}\right)=\cos 2x+3$ trên khoảng $(0;4\pi )$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\sin 2x\ne 0$. Ta có $\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$, nên vế trái $=5\cos x$. Phương trình trở thành $5\cos x=\cos 2x+3=2{\cos }^{2}x+2$, tức $2{\cos }^{2}x-5\cos x+2=0$. Chuyển thành $(2\cos x-1)(\cos x-2)=0$, nên $\cos x=\frac{1}{2}$ (loại $\cos x=2$). Trên $(0;4\pi )$: $x=\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3},\frac{11\pi }{3}$, đều thỏa điều kiện. Tổng $=\frac{\pi }{3}(1+5+7+11)=8\pi$.