Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi 3 số là $a,b,c$ với $a<b<c$, lập thành cấp số nhân nên $b^2=ac$, và $a+b+c=65$. Bớt 1 đơn vị ở số thứ nhất và 19 đơn vị ở số thứ ba ta được cấp số cộng: $a-1,b,c-19$ nên $2b=(a-1)+(c-19)=a+c-20$.

Mà $a+c=65-b$, suy ra $2b=65-b-20\Rightarrow 3b=45\Rightarrow b=15$.

Do đó $a+c=50$ và $ac=b^2=225$. Theo định lý Vi-ét, $a,c$ là hai nghiệm của $t^2-50t+225=0$, có $\Delta =2500-900=1600$, nên $t=\frac{50\pm 40}{2}$, tức $t\in \{45,5\}$.

Vì cấp số nhân tăng nên $a=5,c=45$.

Kiểm tra: ba số $5,15,45$ có tổng $65$, cấp số nhân công bội $q=3$; bớt đi ta được $4,15,26$ là cấp số cộng công sai $11$. Thỏa mãn.

Vậy ba số cần tìm là $5,15,45$.