Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x>0$. Từ ${\log }_{2}x=3$ suy ra $x=2^3=8$. Thử lại: ${\log }_{2}8=3$ đúng. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 629, câu 21: B).

a) Dao động tổng hợp $x(t)=x_1(t)+x_2(t)=A.\cos (\omega t+\phi )$ được biểu diễn như sau:



$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{A}_2}\Rightarrow O{A}_{1}A{A}_2\text{ laˋ hıˋnh bıˋnh haˋnh}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A{A}_2=O{A}_1=3\\ \widehat{A_{2}OA}={\phi }_2-{\phi }_1=-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$

Lại có: $O{A}_1=O{A}_2=3\Rightarrow O{A}_{1}A{A}_2$ là hình vuông cạnh bằng 3.

Suy ra biên độ của dao động tổng hợp $OA=O{A}_1.\sqrt{2}=3\sqrt{2}$, pha ban đầu $\widehat{xOA}=45^o-\widehat{xO{A}_2}=45^o-30^o=15^o=\frac{\pi }{12}$.

b) Điều kiện xác định: $y>-3;x>-2$

Ta có: $x^2+4x-y+3={\log }_2\frac{\sqrt{2y+3}}{x+2}$

$$\iff 2x^2+8x-2y+6=2{\log }_2\frac{\sqrt{2y+3}}{x+2}$$

$$\iff 2x^2+8x-2y+6={\log }_2\frac{2y+3}{x^2+4x+4}$$

$$\iff 2x^2+8x-2y+6={\log }_2\left(\frac{2y+3}{2x^2+8x+8}.2\right)$$

$$\iff 2x^2+8x+8+{\log }_2\left(2x^2+8x+8\right)=2y+3+{\log }_2\left(2y+3\right)$$

Xét hàm số $f(t)=t+{\log }_{2}t,t>0$ có $f^{\prime }(t)=1+\frac{1}{\ln 2.t}>0,\forall t>0\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$

Lại có: $f\left(2x^2+8x+8\right)=f(2y+3)\Rightarrow 2x^2+8x+8=2y+3\iff 2x^2+8x+5=2y(dpcm)$

Khi đó: $P=e^{2x-1}+4x^2+4x-2y-3=e^{2x-1}+4x^2+4x-\left(2x^2+8x+8\right)=e^{2x-1}+2x^2-4x-8=f(x)$

Có $f^{\prime }(x)=2.e^{2x-1}+4x-4\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)=4.e^{2x-1}+4>0,\forall x$

Do đó $f^{\prime }(x)$ đồng biến trên tập xác định của nó.

Mặt khác $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0$, suy ra $f^{\prime }(x)=0$ có một nghiệm duy nhất là $x=\frac{1}{2}$.

Xét bảng biến thiên:



Vậy $\min P=\min f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{17}{2}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{19}{4}\end{array}$.

c) Giá trị tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu nhóm trên là điểm chia tập giá trị thành 2 phần, với 1 phần là 75\% dữ liệu nằm dưới hoặc bằng giá trị này, phần còn lại thể hiện 25\% dữ liệu nằm trên nó. Trong bài toán này, để chọn được 25\% các bạn có chiều cao cao hơn các bạn còn lại để tham gia phục vụ đại hội thể thao của xã, ta cần tìm giá trị tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu đã cho

Cỡ mẫu $n=2+7+20+31+25+12+3=100\Rightarrow \frac{3}{4}n=75$

Suy ra $Q_3\in [170;175)\Rightarrow Q_3=170+\frac{75-(2+7+20+31)}{25}.(175-170)=173$

Vậy các bạn được chọn có chiều cao từ 173 $cm$ trở lên.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+1>0\iff x>-1$. Từ $\ln (x+1)=2$ suy ra $x+1={\mathrm{e}}^2$, tức $x={\mathrm{e}}^2-1$ (thỏa điều kiện). Vậy $S=\{{\mathrm{e}}^2-1\}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 44: a) $\ln x=10\iff x=e^{10}\approx 22026,47\ne 10^{10}$ → Sai. b) $\log x=7\iff x=10^7$ → Đúng. c) ${\log }_{6}x=9\iff x=6^9=10077696$ → Đúng. d) ${\log }_{6}x={\log }_{6}1=0\iff x=6^0=1\ne 6$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\ln x=10\iff x=e^{10}\approx 22026,47\ne 10^{10}$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\log x=7\iff x=10^7$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{6}x=9\iff x=6^9=10077696$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{6}x={\log }_{6}1=0\iff x=6^0=1\ne 6$, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) log_3(x^2-5x+31)=3 ⟺ x^2-5x+31=27 ⟺ x^2-5x+4=0 ⟺ x=1 hoặc x=4. Với x_1=1, x_2=4 thì 3x_1=3≠4=x_2, nên mệnh đề SAI. b) Thay x=-3: x^2+2x=9-6=3 nên 2^{x^2+2x}=2^3, mệnh đề ĐÚNG. c) log_2(x^2-1)=3 ⟺ x^2-1=8 ⟺ x^2=9 ⟺ x=±3 (đều thỏa điều kiện x^2-1>0), phương trình có hai nghiệm nên mệnh đề SAI. d) (1/3)^{2x+1}≤81 ⟺ 3^{-(2x+1)}≤3^4 ⟺ -2x-1≤4 ⟺ x≥-5/2, tập nghiệm S=[-5/2;+∞), mệnh đề ĐÚNG. Kết quả khớp đáp án chính thức mã đề 211: SĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
x^2-5x+31=27 ⟺ x^2-5x+4=0 ⟺ x=1 hoặc x=4; khi đó 3x_1=3≠4=x_2 nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x=-3: x^2+2x=3 nên 2^{x^2+2x}=2^3, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
x^2-1=8 ⟺ x=±3, phương trình có hai nghiệm nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(1/3)^{2x+1}≤81 ⟺ -2x-1≤4 ⟺ x≥-5/2, S=[-5/2;+∞), đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>0$ và $3x+4>0$, tức $x>0$. Phương trình $2{\log }_{2025}x={\log }_{2025}(3x+4)$ tương đương ${\log }_{2025}{x}^2={\log }_{2025}(3x+4)$, suy ra $x^2=3x+4$, tức $x^2-3x-4=0$. Phân tích: $(x-4)(x+1)=0$ nên $x=4$ hoặc $x=-1$. Vì $x>0$ nên chỉ nhận $x=4$. Thử lại: $2{\log }_{2025}4={\log }_{2025}16={\log }_{2025}(3\cdot 4+4)$. Vậy $x=4$.

Chọn D.
Điều kiện: $(x-1{)}^2>0\iff x\ne 1$.
Phương trình tương đương với: $(x-1{)}^2=2^2=4\iff [<table><tbody><tr><td>x-1=2</td></tr><tr><td>x-1=-2</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=3</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy nghiệm của phương trình là $x=3,x=-1$.

Điều kiện: $x-3>0⟺x>3$.
Phương trình tương đương:
$x^2-6x+7=x-3⟺x^2-7x+10=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=5\text{ (thỏa ma˜n)}</td></tr><tr><td>x=2\text{ (loại)}</td></tr></tbody></table>$
Vậy tập nghiệm là $\{5\}$. Chọn C.

Điều kiện $x>3$. Phương trình tương đương ${\log }_3[(2x+1)(x-3)]=2⟺2x^2-5x-3=9⟺2x^2-5x-12=0⟺x=4$ (nhận) hoặc $x=-3/2$ (loại). Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất. Chọn D.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Điều kiện: $x>\frac{1}{2}$ và $x\ne 1$.
Phương trình biến đổi tương đương:
$${\log }_3(2x-1)-{\log }_3(x-1{)}^2=3(x-1{)}^2-(2x-1)-1$$
$$⟺{\log }_3\frac{2x-1}{3}+\frac{2x-1}{3}={\log }_3(x-1{)}^2+(x-1{)}^2.$$
Xét hàm đặc trưng $f(t)={\log }_{3}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra:
$$\frac{2x-1}{3}=(x-1{)}^2⟺3x^2-8x+4=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=\frac{2}{3}</td></tr></tbody></table>$$
Do đó $a=2$, $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}⟹b=3$.
Vậy $b-a=3-2=1$.

Điều kiện: $x>0$.
Phương trình ${\log }_3^{2}x-3{\log }_{3}x+2=0⟺[\begin{array}{rl}{\log }_{3}x& =1\\ {\log }_{3}x& =2\end{array}⟺[\begin{array}{rl}x& =3\\ x& =9\end{array}$.
Tổng các nghiệm là: $3+9=12$.

Ta có $x^2-1=2^3=8\iff x^2=9\iff x=\pm 3$ (thỏa mãn điều kiện $x^2-1>0$). Vậy tập nghiệm là $\{-3;3\}$. Chọn C.