Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mô hình tăng trưởng cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

Để ước tính dân số người ta sử dụng công thức $A_N=A{e}^{rN}$, trong đó $A$ là dân số của năm lấy làm mốc tính, $A_N$ là dân số sau $N$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Biết rằng dân số Việt Nam ở các năm 2014 và 2024 lần lượt là 85,9 và 96,2 triệu người. Hỏi ở năm nào dân số nước ta sẽ vượt qua ngưỡng 120 triệu người?

Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là $5\%$ mỗi năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất $5\%$ của 1 triệu đồng, tức là 50000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là $r\%$ mỗi năm thì tổng số tiền $P$ ban đầu, sau $n$ năm số tiền đó chỉ còn giá trị là: $A=P{\left(1-\frac{r}{100}\right)}^n$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Trong năm 2022, diện tích rừng trồng mới của tỉnh $A$ là 800 ha. Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh $A$ mỗi năm tiếp theo đều tăng $7\%$ so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Hỏi năm 2030, diện tích rừng trồng mới của tỉnh $A$ là tính theo ha? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) là bao nhiêu?

Một người gửi tiết kiệm 10 tỉ đồng theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng với lãi suất 7\% một năm và lãi hằng năm được nhập vào vốn. Sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 12 tỉ đồng?

Câu 7. Dân số thế giới được ước tính theo công thức $S=A{e}^{ni}$, trong đó $A$ là dân số của năm lấy mốc, $S$ là dân số sau $n$ năm, $i$ là tỷ lệ tăng dân số hằng năm. Biết năm 2005 dân số của thành phố Tuy Hòa là khoảng 202300 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47\%. Hỏi với mức tăng dân số không đổi thì sau bao nhiêu năm dân số thành phố Tuy Hòa đạt được 244900 người?

COVID19 là một loại bệnh viêm đường hô hấp cấp do chủng mới của virus corona bắt nguồn từ Trung Quốc gây ra với tốc độ truyền bệnh rất nhanh. Giả sử ban đầu có 1 người bị nhiễm bệnh và cứ sau 1 ngày sẽ lây sang 4 người khác. Tất cả những người nhiễm bệnh lại tiếp tục lây sang những người khác với tốc độ như trên. Hỏi sau 7 ngày sẽ có tổng cộng bao nhiêu người nhiễm bệnh?.

Dân số thành phố Hà Nội năm 2022 khoảng 8,4 triệu người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Hà Nội không đổi và tỉ lệ đó là $r=1,04\%$. Biết rằng, sau $t$ năm (tính từ mốc năm 2022) dân số Hà Nội ước tính theo công thức: $S=A{e}^{rt}$, trong đó $A$ là dân số năm lấy làm mốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm (tính từ năm 2022), dân số của Hà Nội vượt mức 10 triệu người? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền $P$ với lãi suất $r$ mỗi kì thì sau $N$ kì, số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính theo công thức lãi kép: $A=P{\left(1+r\right)}^N$.
Năm 2020 bác Hằng gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi $7,5\%$ một năm. Hai năm sau, bác Hằng gửi thêm vào ngân hàng 120 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm kể từ năm 2020 để bác Hằng thu được ít nhất 1 tỉ đồng (cả vốn lẫn lãi).

Câu 2 (0,5 điểm): Bác Minh gửi tiết kiệm 81 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 6,5\% một năm theo thể thức lãi kép kỳ hạn 12 tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm Bác Minh thu được 150 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số tiền gửi ban đầu?

Một người gửi tiết kiệm 120 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $7,8\%$ một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được 200 triệu đồng (cả số tiền gửi ban đầu và lãi), giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

Trong một phòng thí nghiệm, người ta nuôi một loại vi khuẩn. Lúc đầu có 300 con vi khuẩn. Sau một giờ, số vi khuẩn là 705 con. Số lượng vi khuẩn sau $x$ giờ là $f(x)=C\cdot e^{kx}$. Hỏi sau ít nhất bao lâu số vi khuẩn sẽ vượt 10000 con? (đơn vị giờ, kết quả phép tính đến phần trăm).

Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là $0,91\%$. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2025 (làm tròn đến hàng đơn vị).

Điền đáp án: ________

Một người thợ xây hợp đồng xây dựng một tòa tháp 10 tầng. Biết rằng diện tích mặt sàn tầng dưới cùng là $200{\text{ m}}^2$, diện tích mặt sàn trên bằng $0,8$ diện tích mặt sàn dưới liền kề. Người thợ cần tính số lượng gạch men đặc biệt cần mua để lát sàn tầng 10 trên cùng, biết $1{\text{ m}}^2$ gạch lát loại này giá $500,000$ đ. Hỏi giá tiền mua gạch lát này gần nhất với số nào?

Giả sử cường độ ánh sáng $I$ dưới mặt nước biển giảm dần theo độ sâu theo công thức $I=I_0\cdot a^d$, trong đó $I_0$ là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, $a$ là một hằng số dương, $d$ là độ sâu tính từ mặt nước biển (đơn vị mét). Ở một vùng biển, cường độ ánh sáng tại độ sâu $1\text{ m}$ bằng $95\%$ cường độ ánh sáng tại mặt nước biển. Tính tỷ lệ giữa cường độ ánh sáng tại độ sâu $20\text{ m}$ so với cường độ ánh sáng tại độ sâu $10\text{ m}$ ở vùng biển đó (làm tròn đến hàng phần chục).

Trong lần đầu tiên nuôi gà, một trang trại do thiếu kinh nghiệm nên dự tính lượng thức ăn cho gà hằng ngày là không đổi và đã dự trữ thức ăn đủ dùng trong 100 ngày. Nhưng thực tế, theo sự phát triển của gà, để đảm bảo chất lượng thì kể từ ngày thứ 2 trở đi lượng thức ăn nuôi gà mỗi ngày của trang trại đã tăng thêm $2\%$ so với ngày trước đó. Hỏi lượng thức ăn mà trang trại dự trữ đủ dùng cho gà ăn tối đa bao nhiêu ngày mà vẫn đảm bảo chất lượng ăn mỗi ngày? (lấy kết quả số ngày là số nguyên).

Câu 2. Một nhóm nghiên cứu quan sát sự phát triển của một quần thể vi khuẩn trong môi trường nuôi cấy hạn chế.
Giai đoạn 1 (từ $t=0$ đến $t=3$ giờ): Số lượng vi khuẩn tăng trưởng theo hàm mũ $N(t)=40e^{0,8t}$ (với $t$ tính bằng giờ, $N$ tính bằng triệu cá thể).
Giai đoạn 2 (sau $3$ giờ): Số lượng vi khuẩn được biểu thị bởi hàm số $M(t)=A-\frac{160}{3}{e}^{4,2-0,6t}$ (với $A$ là các hằng số, $t$ tính bằng giờ, $M$ tính bằng triệu cá thể).