a) Phương trình dao động điều hoà của một vật tại thời điểm t giây được cho bởi công thức x(t)=A ( t+ ), trong đó x(t) (cm) là li độ của vật tại thời điểm t giâ

Question

a) Phương trình dao động điều hoà của một vật tại thời điểm $t$ giây được cho bởi công thức $x (t) = A cos (ω t + φ)$ , trong đó $x (t)$ (cm) là li độ của vật tại thời điểm $t$ giây, $A$ là biên độ dao động $(A > 0)$ và $φ \in [- π; π]$ là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hoà có phương trình lần lượt là:

$x_{1} (t) = 3 cos (\frac{π}{4} t + \frac{π}{3}) (c m) v a ˋ x_{2} (t) = 3 cos (\frac{π}{4} t - \frac{π}{6}) (c m)$

Xác định biên độ dao động và pha ban đầu của dao động tổng hợp $x (t) = x_{1} (t) + x_{2} (t)$ .

b) Cho hai số thực không âm $x, y$ thoả mãn $x^{2} + 4 x - y + 3 = lo g_{2} \frac{2 y + 3}{x + 2}$ . Chứng minh rằng $2 y = 2 x^{2} + 8 x + 5$ , từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = e^{2 x - 1} + 4 x^{2} + 4 x - 2 y - 3$ .

c) Thống kê chiều cao (đơn vị cm) của các bạn học sinh nam khối 12 ở Trường Trung học phổ thông A người ta thu được bảng sau:

Chiều cao [150;155) [155;160) [160;165) [165;170) [170;175) [175;180) [180;185)
Số học sinh 2 7 20 31 25 12 3

Trong số những học sinh trên, Trường Trung học phổ thông A muốn chọn 25\% các bạn có chiều cao cao hơn các bạn còn lại để tham gia phục vụ đại hội thể dục thể thao của xã. Hỏi các bạn được chọn có chiều cao từ bao nhiêu cm trở lên?

Đề Thi Chuẩn · Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: a) Dao động tổng hợp x(t) = x 1(t) + x 2(t) = A. ( t + ) được biểu diễn như sau: Lại có: OA 1 = OA 2 = 3 OA 1AA 2 là hình vuông cạnh bằng 3. Suy ra biên độ của dao động tổng hợp OA = OA 1. 2 = 3 2 , pha ban đầu xOA = 45 o - xOA 2 = 45 o - 30 o = 15 o = 12 . b) Điều kiện xác định: y > -3; x > -2 Ta có: x 2 + 4x - y + 3 = 2 2y+3 x+2 Xét hàm số f(t) = t + 2 t, t > 0 có f'(t) = 1 + 1 2.t > 0, t > 0 f(t) đồng biến trên (0; + ) Lại có: f ( 2x 2 + 8x + 8 ) = f(2y + 3) 2x 2 + 8x + 8 = 2y + 3 2x 2 + 8x + 5 = 2y \ (dpcm) Khi đó: P = e 2x-1 + 4x 2 + 4x - 2y - 3 = e 2x-1 + 4x 2 + 4x - ( 2x 2 + 8x + 8 ) = e 2x-1 + 2x 2 - 4x - 8 = f(x) Có f'(x) = 2.e 2x-1 + 4x - 4 f''(x) = 4.e 2x-1 + 4 > 0, x Do đó f'(x) đồng biến trên tập xác định của nó. Mặt khác f' ( 1 2 ) = 0, suy ra f'(x) = 0 có một nghiệm duy nhất là x = 1 2 . Xét bảng biến thiên: Vậy P= f(x)=f ( 1 2 )=- 17 2 cases x= 1 2 \ = 19 4 cases . c) Giá trị tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu nhóm trên là điểm chia tập giá trị thành 2 phần, với 1 phần là 75\% dữ liệu nằm dưới hoặc bằng giá trị này, phần còn lại thể hiện 25\% dữ liệu nằm trên nó. Trong bài toán này, để chọn được 25\% các bạn có chiều cao cao hơn các bạn còn lại để tham gia phục vụ đại hội thể thao của xã, ta cần tìm giá trị tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu đã cho Cỡ mẫu n=2+7+20+31+25+12+3=100 3 4 n=75 Suy ra Q 3 [170;175) Q 3=170+ 75-(2+7+20+31) 25 .(175-170)=173 Vậy các bạn được chọn có chiều cao từ 173 cm trở lên.

Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh Toán 12 Sở GD&ĐT Cao Bằng 2025-2026

Các câu hỏi khác trong đề (6 câu)

Bài tập trắc nghiệm cùng chuyên đề: Phương trình logarit (764 câu)

Chiều cao	[150;155)	[155;160)	[160;165)	[165;170)	[170;175)	[175;180)	[180;185)
Số học sinh	2	7	20	31	25	12	3