Câu 4. (2,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, tam giác $SAB$ đều, góc giữa $(SCD)$ và $(ABCD)$ bằng $60^0$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Biết hình chiếu vuông góc $H$ của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ nằm trong hình vuông $ABCD$. Chứng minh rằng ba điểm $M,O,H$ thẳng hàng, với $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Từ đó tính theo $a$ khoảng cách giữa đường thẳng $SM$ và $AC$.

Tam giác $SAB$ đều, $M$ là trung điểm $AB$ nên $SM$ vừa là đường cao, vừa là trung tuyến hay $SM\perp AB$ và $SM=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\sqrt{3}a$.



Vì $SH\perp (ABCD)\Rightarrow SH\perp AB$. Kết hợp với $SM\perp AB$

$\Rightarrow AB\perp (SHM)\Rightarrow AB\perp MH$

Trong $(ABCD)$ ta thấy: $\{\begin{array}{l}AB\perp MH\\ AB\perp MO\end{array}\Rightarrow M,H,O$ thẳng hàng (Tiền đề O-clit trong không gian 2 chiều) $\Rightarrow \{\begin{array}{l}HO\perp CD\\ SH\perp CD\end{array}\Rightarrow CD\perp (SHO)$

Gọi $HO\cap CD=E\Rightarrow E$ là trung điểm $CD$.

$\{\begin{array}{l}(SCD)\cap (ABCD)=CD\\ CD\perp (SHE)\end{array}\Rightarrow \left(\widehat{(SCD);(ABCD)}\right)=\left(\widehat{SE;EH}\right)\iff \widehat{SEH}=60^0$

Đặt $HE=x>0\Rightarrow MH=ME-HE=2a-x$.

Xét tam giác $SHE$ vuông tại $H$ có: $\tan \widehat{SEH}=\tan 60^{\circ }\iff \frac{SH}{HE}=\sqrt{3}\iff SH=\sqrt{3}.x$

Xét tam giác $SHM$ vuông tại $H$ có: $M{H}^2+S{H}^2=S{M}^2\iff (2a-x{)}^2+{\left(\sqrt{3}.x\right)}^2=3a^2\Rightarrow x=\frac{1}{2}a$.

Hay $HE=\frac{1}{2}a;SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Gọi $F$ là trung điểm của $BC\Rightarrow MF$, $OF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}MF=\frac{AC}{2}=a\sqrt{2}\\ MF\parallel AC\\ OF\perp MH\end{array}\Rightarrow (SMF)\parallel AC\Rightarrow d(AC;SM)=d\left(O;(SMF)\right)=h$$

Do $HO\cap (SMF)=M\Rightarrow \frac{d\left(O;(SMF)\right)}{d\left(H;(SMF)\right)}=\frac{OM}{HM}=\frac{3}{4}\Rightarrow h=\frac{3}{4}d\left(H;(SMF)\right)$

Gọi $I$, $J$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $MF$, $SI$.

Có: $S_{MHF}=\frac{1}{2}.MF.HI=\frac{1}{2}OF.MH\iff HI=\frac{OF.MH}{MF}=\frac{a.\frac{3}{2}a}{a\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}a$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}SH\perp MF\\ HI\perp MF\end{array}\Rightarrow (SHI)\perp MF\Rightarrow \{\begin{array}{l}HJ\perp MF\\ HJ\perp SI\end{array}\Rightarrow HJ\perp (SMF)$$

$$\Rightarrow h=\frac{3}{4}d\left(H;(SMF)\right)=\frac{3}{4}HJ$$

Xét tam giác $SHI$ vuông tại $H$ có: $HJ\perp SI\Rightarrow HJ=\frac{SH.HI}{\sqrt{S{H}^2+H{I}^2}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}a\Rightarrow h=d(SM;AC)=\frac{9\sqrt{5}}{40}a$