Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tính góc nhị diện không tọa độ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\perp AB$ (đáy vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (do $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SB$. Giao tuyến của $(SBC)$ và $(ABC)$ là $BC$; trong mặt phẳng $(SAB)$ có $BA\perp BC$ và $BS\perp BC$, nên góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{SBA}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $SA=AB$ nên $\widehat{SBA}=45^{\circ }$. Chọn D.

Vẽ hình đúng để làm được câu a.

a) Vì $M$ là trung điểm của $AD$ nên $AM=MD=\frac{AD}{2}=\frac{2a}{2}=a=BC$.
Xét tứ giác $ABCM$ có: $AM\parallel BC$ (do $AD\parallel BC$), có $AB=BC=a$ và $\hat{A}=\hat{B}=90^{\circ }\Rightarrow ABCM$ là hình vuông cạnh $a$.
Suy ra: $AC=a\sqrt{2}$ và $CM=a=\frac{1}{2}AD$.
Khi đó, tam giác $ACD$ vuông tại $C$. Suy ra $CD\perp AC$ (1).
Ta có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp CD$ (2).
Từ (1) và (2), $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ nằm trong $(SAC)$.
Vậy $CD\perp (SAC)$ (đpcm).

b) Vì $△SBC=△SMC$ (cạnh - cạnh - cạnh) nên kẻ $BK\perp SC,K\in SC\Rightarrow MK\perp SC$.
Trong mặt phẳng $(SBC)$, kẻ $BK\perp SC$ tại $K$.
Khi đó, góc $\widehat{BKM}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[B,SC,M]$.
Xét tam giác $SBC$ vuông tại $B$ (do $BC\perp (SAB)$):
$$SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+a^2}=2a.$$
$$SC=\sqrt{S{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(2a{)}^2+a^2}=a\sqrt{5}.$$
Tính $BK$: Trong tam giác vuông $SBC$ tại $B$: $BK=\frac{SB\cdot BC}{SC}=\frac{2a\cdot a}{a\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}$
$$\Rightarrow MK=BK=\frac{2a}{\sqrt{5}}\text{ (do hai tam giaˊc ba˘ˋng nhau).}$$
Tính $BM$: Trong hình vuông $ABCM$ cạnh $a$:
$$BM=\sqrt{A{B}^2+A{M}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$$
Xét tam giác $BKM$, áp dụng định lý cosin:
$$\cos \widehat{BKM}=\frac{B{K}^2+M{K}^2-B{M}^2}{2\cdot BK\cdot MK}=\frac{{\left(\frac{2a}{\sqrt{5}}\right)}^2+{\left(\frac{2a}{\sqrt{5}}\right)}^2-{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}{2\cdot \frac{2a}{\sqrt{5}}\cdot \frac{2a}{\sqrt{5}}}=\frac{-1}{4}$$
Vậy $\cos \alpha =\frac{-1}{4}$.

Hướng dẫn chấm (1 điểm):

Giao tuyến của hai mặt phẳng $(BC{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $BC$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$ có $AB\perp BC$. Trong mặt phẳng $(BC{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ có $A^{\prime }B\perp BC$ (vì $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$). Do đó góc giữa hai mặt phẳng chính là góc $\widehat{A^{\prime }BA}=45^{\circ }$ (vì hình chữ nhật $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình vuông).

Gọi $a$ là độ dài cạnh của hai tam giác đều cạnh bằng nhau $\Delta ABC$ và $\Delta SAB$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì $\Delta SAB$ đều nên $SH\perp AB$ và $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Do $(SAB)\perp (ABC)$ nên $SH\perp (ABC)$.
Kẻ $HK\perp BC$ tại $K$. Theo định lý ba đường vuông góc, $SK\perp BC$.
Do đó góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là góc $\widehat{SKH}=\alpha$.
Trong $\Delta ABC$ đều, $\hat{B}=60^{\circ }⟹HK=HB\sin 60^{\circ }=\frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Trong tam giác vuông $SHK$ tại $H$:
$SK=\sqrt{S{H}^2+H{K}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{16}}=\sqrt{\frac{15a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{15}}{4}.$
Suy ra $\cos \alpha =\frac{HK}{SK}=\frac{a\sqrt{3}/4}{a\sqrt{15}/4}=\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Do đó ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}=0,2$.
Đáp án: 0,2.

Đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ có $BD=a$ nên $△ABD$ và $△CBD$ là các tam giác đều cạnh $a$, suy ra $AC=a\sqrt{3}$. Đặt hệ trục hoặc tính khoảng cách từ $B,D$ đến $SC$: trong $△SAC$ vuông tại $A$, $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$. Kẻ $BH\perp SC$ và $DH\perp SC$ tại $H$, tính được $BH=DH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, mà $BD=a$ nên $B{H}^2+D{H}^2=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=a^2=B{D}^2\Rightarrow \widehat{BHD}=90^{\circ }$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ bằng $90^{\circ }$. Chọn D.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $AM\perp BC$ và $A^{\prime }M\perp BC$, nên góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{AM{A}^{\prime }}$. Vì $△ABC$ đều cạnh $2a$ nên $AM=a\sqrt{3}$. Khi đó $\tan \widehat{AM{A}^{\prime }}=\frac{A{A}^{\prime }}{AM}=\frac{3a}{a\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{AM{A}^{\prime }}=60^{\circ }$.

Mô hình hoá kim tự tháp bằng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ với đáy là hình vuông $ABCD$ tâm $O$.
Gọi $M$ là trung điểm cạnh đáy $BC$, khi đó $OM\perp BC$.
Góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc $\widehat{SMO}$. Theo đề bài:
$\tan \widehat{SMO}=\frac{SO}{OM}=\frac{49}{45}$
Đặt $SO=49x$, $OM=45x$ ($x>0$). Khi đó cạnh đáy $AB=2OM=90x$.
Chiều cao mặt bên: $SM=\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{(49x{)}^2+(45x{)}^2}=\sqrt{2401+2025}x=\sqrt{4426}x$.
Tổng diện tích tất cả các mặt của kim tự tháp (gồm đáy và 4 mặt bên):
$S=S_{ABCD}+4S_{\Delta SBC}=A{B}^2+4\cdot \left(\frac{1}{2}SM\cdot BC\right)=(90x{)}^2+2\cdot \sqrt{4426}x\cdot 90x=8100x^2+180\sqrt{4426}{x}^2$
Theo đề bài:
$(8100+180\sqrt{4426})x^2=80500\Rightarrow x^2=\frac{80500}{8100+180\sqrt{4426}}\approx 4,00995\Rightarrow x\approx 2,0025$
Chiều cao kim tự tháp là:
$SO=49x\approx 49\cdot 2,0025\approx 98,12\text{ m}$
Làm tròn đến hàng đơn vị, chiều cao kim tự tháp là 98 mét.
Đáp số: 98.