Đạo hàm của hàm số $y=x\sin x$ là

Đạo hàm của hàm số $y=\log x$ là

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x+2}$ tại điểm có hoành độ bằng 3 là

Đạo hàm của hàm số $y=\tan x$ là

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x-1$. Tích các nghiệm của phương trình $y^{\prime }=0$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình vuông (tham khảo hình vẽ bên dưới).



Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

Cho đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2-6x+5$ $(C)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA=a\sqrt{3}$.

Biết đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2+3x+8}{x+2}$ có dạng $y^{\prime }=\frac{a{x}^2+bx+c}{(x+2{)}^2}$, với $a,b,c\in \mathbb{Z}$. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$.

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=t^3-2t^2+5t$, trong đó $t>0$, $t$ tính bằng giây và $s(t)$ tính bằng mét. Tìm vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=5$ (s).

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ (đơn vị đo bằng độ).

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột $AB$ có chiều dài bằng 6 m và tạo với mặt đất một góc $60^o$. Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng $BC$ của cây cột trên mặt đất dài 3 m và vuông góc với cây cột như hình vẽ bên dưới.



Tính góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời $AC$ và mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười, đơn vị đo bằng độ).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Chứng minh rằng $BC\perp (SAB)$ và $(SBC)\perp (SAB)$.

a) Cho hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y=x+2$.

b) Cầu Nhật Tân bắc qua sông Hồng được xem là chiếc cầu dây văng dài nhất Việt Nam năm 2022. Cầu có 5 trụ tháp chính kết nối các nhịp dây văng nâng đỡ toàn bộ phần chính của cây cầu, cũng là đề tượng trưng cho 5 cửa ô kính của Hà Nội. Mỗi trụ tháp được kiến trúc tạo dáng mỹ thuật phía trong bằng đường cong tựa như một parabol.

Giả sử rằng mặt trong của trụ cầu là một Parabol như hình dưới. Biết khoảng cách giữa hai chân trụ bằng 43m. Trên thành trụ cầu, tại vị trí có độ cao 1,87m so với mặt đất (điểm $M$), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân trụ cầu $A$ một đoạn 0,2m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Tính độ dốc của trụ cầu tại điểm $M$ (đơn vị đo độ), (độ dốc tại điểm $M$ được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với thành trụ cầu tại điểm $M$ và phương ngang $AB$ như hình vẽ), kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ và $SA=a\sqrt{2}$.

a) Chứng minh rằng $BD\perp (SAC)$.

b) Tính số đo của góc nhị diện $[A,SD,C]$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười, đơn vị đo bằng độ).