Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chứng minh đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SC$ nên $SO\perp AC$; vì $SB=SD$ nên $SO\perp BD$. Suy ra $SO\perp (ABCD)$, do đó $SO\perp DC$ (D đúng). Lại có $AC\perp BD$ (hình thoi) và $AC\perp SO$ nên $AC\perp (SBD)$, suy ra $AC\perp SD$ (B đúng). Tương tự $BD\perp (SAC)$ suy ra $BD\perp SA$ (A đúng). Mệnh đề $AD\perp SA$ không được suy ra từ các giả thiết (chỉ đúng trong trường hợp đặc biệt), nên nó là mệnh đề sai. Khớp đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác ABC cân tại A nên AE là đường trung tuyến, suy ra AE ⊥ BC. Vì (SAB) ⊥ (ABC) và (SAC) ⊥ (ABC), giao tuyến của (SAB) và (SAC) là SA, nên SA ⊥ (ABC), do đó SA ⊥ BC. Từ AE ⊥ BC và SA ⊥ BC suy ra BC ⊥ (SAE). Vì AH nằm trong (SAE) nên BC ⊥ AH, tức AH ⊥ BC. Mặt khác theo giả thiết AH ⊥ SE. AH vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau BC và SE trong mặt phẳng (SBC), vậy AH ⊥ (SBC). Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $SA\perp (ABCD)\subset AB\Rightarrow SA\perp AB$.
b) Sai: Với $A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),S(0,0,h)$ thì $O(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$, hình chiếu của $A$ trên $SO$ là $I=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},h)$ (vì $\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{SO}$). Khi đó $\cos (AI,SD)=\frac{\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{SD}}{|\overrightarrow{AI}||\overrightarrow{SD}|}=\frac{-(1+h^2)}{\sqrt{h^2+1/2}\sqrt{h^2+2}}$. Phương trình cho góc $60^{\circ }$: $4(1+x{)}^2=(x+\frac{1}{2})(x+2)\iff 3x^2+5,5x+3=0$ (vô nghiệm, $\Delta <0$), nên góc này không thể bằng $60^{\circ }$ với mọi $h$.
c) Đúng: $CD\perp AD$ và $CD\perp SA\Rightarrow CD\perp (SAD)\Rightarrow CD\perp SD$, tam giác $SDC$ vuông tại $C$.
d) Đúng: $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp$ đáy), mà $AC,SA$ cắt nhau trong $(SAC)$, nên $BD\perp (SAC)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA vuông góc với đáy nên SA vuông góc với mọi đường thẳng trong đáy, kể cả AB.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính toán với tọa độ cho thấy cos(AI,SD)=-(1+h²)/(√(h²+1/2)√(h²+2)); phương trình góc bằng 60° vô nghiệm nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
CD⊥AD và CD⊥SA nên CD⊥(SAD), suy ra CD⊥SD, tam giác SDC vuông tại C.
d) (AI giải đề cho tôi)
BD⊥AC và BD⊥SA (SA⊥đáy), AC và SA cắt nhau trong (SAC), nên BD⊥(SAC).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(ABCD)$. Do $BC\subset (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Các khẳng định A, D (SA vuông góc SD, SC) không suy ra được vì góc giữa SA với SD, SC phụ thuộc kích thước hình chữ nhật; B (SD ⊥ BC) cũng không được suy ra từ giả thiết.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: CD⊥AD (đáy vuông) và CD⊥SA (SA⊥đáy) nên CD⊥(SAD) ⇒ CD⊥SD, tam giác SDC vuông tại C. b) Đúng: SA⊥(ABCD) nên SA⊥AB. c) Sai: AI⊥SO (I là hình chiếu của A trên SO) và AI⊥BD (vì BD⊥(SAC) mà AI⊂(SAC)) nên AI⊥(SBD) ⇒ AI⊥SD, góc (AI,SD)=90°, không phải 60°. Kiểm tra tọa độ: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,h); I thuộc SO với AI·SD=0 xác nhận góc 90°. d) Đúng: BD⊥AC (hai đường chéo hình vuông) và BD⊥SA (SA⊥đáy) nên BD⊥(SAC).
a) (AI giải đề cho tôi)
CD⊥AD và CD⊥SA ⇒ CD⊥(SAD) ⇒ CD⊥SD, tam giác SDC vuông tại C.
b) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥(ABCD) nên SA⊥AB.
c) (AI giải đề cho tôi)
AI⊥SO và AI⊥BD (do BD⊥(SAC)) ⇒ AI⊥(SBD) ⇒ AI⊥SD, góc bằng 90° chứ không phải 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
BD⊥AC và BD⊥SA ⇒ BD⊥(SAC).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(ABCD)$. Do $BC\subset (ABCD)$ nên $SA\perp BC$ → đáp án C. Các phương án khác sai: $SA$ không vuông góc $SD$, $SC$ vì $SD,SC$ không nằm trong $(ABCD)$ (tam giác $SAD$, $SAC$ vuông tại $A$ nhưng góc tại $S$ nhọn); $SD\perp BC$ sai vì $BC\parallel AD$ nên góc giữa $SD$ và $BC$ bằng góc giữa $SD$ và $AD$, mà góc $SDA$ nhọn trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Do đó $BD\perp (SAC)$ (cùng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC,SA$ trong mặt phẳng $(SAC)$). Các khẳng định còn lại sai: $AC$ không vuông góc với $BD$ nên không thể vuông góc với $(SBD)$; $BD$ không vuông góc với $AD$ hay $AC$ không vuông góc với $CD$ trong hình vuông. Đáp án khớp với mã đề 102, câu 7: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD,SA\perp CD,SA\perp BC,SA\perp AC$. Đáy là hình vuông nên $BD\perp AC$, $CD\perp AD$, $BC\perp AB$. Do đó: $BD\perp (SAC)$ (B đúng), $CD\perp (SAD)$ (C đúng), $BC\perp (SAB)$ (D đúng). Với A: $AC\perp BD$ và $AC\perp SA$ chỉ suy ra $AC\perp (SAB)$, không suy ra $AC\perp SB$ nên không có $AC\perp (SBD)$. Khẳng định sai là A, trùng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa: $A(0;0;0),B(2a;0;0),D(0;a;0),C(a;a;0),S(0;0;a\sqrt{2})$ (hình thang vuông tại $A,D$, $AB\parallel DC$, $AD\perp AB$).
a) $\overrightarrow{BC}=(-a;a;0)$, $\overrightarrow{SD}=(0;a;-a\sqrt{2})$, tích vô hướng $=a^2-2a^2=-a^2\ne 0$ nên $BC$ không vuông góc $SD$ → Sai.
b) $DC\perp AD$ (giả thiết) và $DC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $DC\perp (SAD)$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AC}=(-a;a;0)\cdot (a;a;0)=0$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAC)$; vì $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAC)$ → Đúng.
d) Vì $BC\perp (SAC)$ nên $AC\perp BC$ và $SC\perp BC$, do đó góc nhị diện $[S,BC,A]$ là góc $SCA$ trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$): $\tan \angle SCA=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \angle SCA=45^0\ne 60^0$ → Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn: S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{SD}=-a^2\ne 0$, do đó $BC$ không vuông góc với $SD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$DC\perp AD$ và $DC\perp SA$ nên $DC\perp (SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AC$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAC)$, suy ra $(SBC)\perp (SAC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[S,BC,A]$ bằng góc $SCA$ với $\tan \angle SCA=\frac{SA}{AC}=1\Rightarrow 45^0\ne 60^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, do đó $SA\perp AB$ (và cả $SA\perp AC$). Các mệnh đề $SA\perp SB$, $SB\perp SC$, $SA\perp SC$ không được suy ra từ giả thiết. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chóp tam giác đều S.ABC, G trọng tâm đáy. a) Đường cao của chóp tam giác đều đi qua trọng tâm đáy nên $SG\perp (ABC)$. Đúng. b) Hình chiếu của S trên $(ABC)$ là G, nên góc giữa SA và $(ABC)$ là góc giữa SA và AG, tức $\widehat{SAM}$ (M trung điểm BC, A, G, M thẳng hàng), không phải $\widehat{SAB}$. Sai. c) Tam giác ABC đều nên $AM\perp BC$; tam giác SBC cân tại S nên $SM\perp BC$; do đó $\widehat{SMA}$ là góc phẳng của nhị diện $[S,BC,A]$. Đúng. d) Vì $SG\perp (ABC)$ tại G nên $d(S,(ABC))=SG$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường cao của chóp tam giác đều đi qua trọng tâm đáy nên SG ⊥ (ABC).
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SA và (ABC) là góc giữa SA và hình chiếu AG, tức góc SAM (M trung điểm BC), không phải góc SAB.
c) (AI giải đề cho tôi)
AM ⊥ BC (ABC đều) và SM ⊥ BC (SBC cân tại S), nên góc SMA là góc phẳng nhị diện [S,BC,A].
d) (AI giải đề cho tôi)
SG ⊥ (ABC) tại G nên d(S,(ABC)) = SG.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(SAC)\perp (ABCD)$ và $(SBD)\perp (ABCD)$ với giao tuyến chung là $SO$, nên $SO\perp (ABCD)$, suy ra $SO\perp OA$, $SO\perp OB$.

Tam giác $SOA$ vuông tại $O$: $O{A}^2=S{A}^2-S{O}^2=a^2-\frac{2a^2}{3}=\frac{a^2}{3}\Rightarrow OA=\frac{a}{\sqrt{3}}$, $AC=\frac{2a}{\sqrt{3}}$.

Do $ABCD$ là hình thoi nên các đường chéo vuông góc tại $O$: $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2\Rightarrow O{B}^2=a^2-\frac{a^2}{3}=\frac{2a^2}{3}$, suy ra $BD=2OB=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$.

a) $ABCD$ là hình thoi nên $BD\perp AC$; lại $BD\perp SO$ (vì $SO\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (SAC)\Rightarrow BD\perp SA$. Mặt khác $OE\perp SA$ (giả thiết) và $BD\cap OE=O$, $BD,OE\subset (BDE)$, vậy $SA\perp (BDE)$. (đpcm)

b) Vì $SA\perp (BDE)$ nên $SA\perp EB$ tại $E$ và $SA\perp ED$ tại $E$; do đó góc phẳng nhị diện $[B,SA,D]$ là $\widehat{BED}$.

Tính $OE$: trong tam giác vuông $SOA$ ( đường cao $OE$): $OE\cdot SA=SO\cdot OA\Rightarrow OE=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}}{a}=\frac{a\sqrt{2}}{3}$; $A{E}^2=O{A}^2-O{E}^2=\frac{a^2}{3}-\frac{2a^2}{9}=\frac{a^2}{9}$.

Vì $SA\perp (BDE)$ nên $EA\perp EB$, tam giác $AEB$ vuông tại $E$: $E{B}^2=A{B}^2-A{E}^2=a^2-\frac{a^2}{9}=\frac{8a^2}{9}$; tương tự $E{D}^2=\frac{8a^2}{9}$ (do đối xứng qua $SA$).

Tam giác $BED$: $\cos \widehat{BED}=\frac{E{B}^2+E{D}^2-B{D}^2}{2EB\cdot ED}=\frac{\frac{8a^2}{9}+\frac{8a^2}{9}-\frac{8a^2}{3}}{2\cdot \frac{8a^2}{9}}=\frac{\frac{16-24}{9}}{\frac{16}{9}}=-\frac{1}{2}$.

Vậy góc phẳng nhị diện $[B,SA,D]$ là $\widehat{BED}=\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=120^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy.
a) Trong hình vuông $ABCD$ có $BD\perp AC$; mà $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Vậy $BD\perp SA$ — đúng.
b) $CD\perp AD$ (hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), với $AD,SA\subset (SAD)$ cắt nhau tại $A$, nên $CD\perp (SAD)$ — đúng.
c) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$, do đó $(BC;SA)=90^{\circ }\ne 60^{\circ }$ — sai.
d) Trong hình vuông $ABCD$ có $AC\perp BD$ tại $O$. Để $AC\perp (SBD)$ cần thêm $AC\perp SO$ với $SO\subset (SBD)$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp AC$) nên $S{C}^2=S{A}^2+A{C}^2>S{A}^2$, tam giác không cân tại $A$; $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO$ là trung tuyến chứ không phải đường cao, tức $SO$ không vuông góc với $AC$ (nói chung, chỉ xảy ra khi $SA=AC$). Vậy $AC$ không vuông góc với $(SBD)$ — sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $BD\perp AC$ (hình vuông) và $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$, nên $CD\perp (SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $SA\perp BC$ nên $(BC;SA)=90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $AC\perp BD$ nhưng $SO$ không vuông góc $AC$ (tam giác $SAC$ vuông tại $A$ không cân tại $A$), nên $AC$ không vuông góc $(SBD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$, do đó A, B, C đều đúng (A: hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song; B: đường thẳng song song với đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì cũng vuông góc mặt phẳng; C: $b\subset (P)$ thì $b\perp a$). Mệnh đề D sai: nếu $a\perp b$ thì $b$ có thể nằm trong $(P)$ (khi đó $b$ không song song với $(P)$), hoặc $b$ song song với $(P)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ và $b\parallel a$ nên theo tính chất đường thẳng song song với đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $b\perp (P)$. Do đó mệnh đề A ('Nếu $b\parallel a$ thì $b\parallel (P)$') là sai. Các mệnh đề còn lại đều đúng: B đúng theo lập luận trên; C đúng vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song; D đúng vì $b\parallel (P)$ thì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với $(P)$, đặc biệt $b\perp a$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OB\perp OA$ và $OB\perp OC$ nên $OB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $OA,OC$ nằm trong mặt phẳng $(OAC)$. Suy ra $OB\perp (OAC)$. Các khẳng định khác sai: $OB$ nằm trong $(OBC)$ và $(OAB)$ nên không thể vuông góc với chúng; $OB$ không vuông góc với $(ABC)$ vì $OB$ không vuông góc với $BC$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OB\perp OA$ và $OB\perp OC$ mà $OA,OC$ cắt nhau tại $O$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(OAC)$, theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có $OB\perp (OAC)$. Các khẳng định khác sai: $OB$ nằm trong $(OBC)$ và $(OAB)$ nên không thể vuông góc với chúng; $OB$ không vuông góc với $(ABC)$ vì $OB$ không vuông góc với $BC$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD (tâm đáy). Trong hình chóp đều, đỉnh S nằm trên đường vuông góc với mặt đáy tại tâm O, nên $SO\perp (ABCD)$. Vậy đường cao của hình chóp là SO. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chóp đều S.ABCD, cạnh đáy 2,2m, cạnh bên 2,8m. AC = 2,2√2 nên AO = 1,1√2 ≈ 1,5556; SO = √(2,8² − 1,5556²) = √(7,84 − 2,42) = √5,42 ≈ 2,328m.
a) Đúng: MN là đường trung bình của tam giác SBO nên MN ∥ SO; SO ⊥ (ABCD) (chóp đều) nên MN ⊥ (ABCD).
b) Sai: Hình chiếu của B trên (SAC) là O (vì BO ⊥ AC và BO ⊥ SO), nên góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO, tức góc BSO. tan(BSO) = BO/SO = 1,5556/2,328 ≈ 0,668 → BSO ≈ 33,7° ≈ 34°, không phải 38°.
c) Đúng: AC ⊥ BD (hình vuông) và AC ⊥ SO (SO ⊥ (ABCD)) nên AC ⊥ (SBD).
d) Sai: CD ∥ AB. Trong tam giác SAB cân với SA = SB = 2,8, AB = 2,2, ta có cos(góc giữa SB và AB) = (SB² + AB² − SA²)/(2·SB·AB) = 4,84/12,32 ≈ 0,393 ≠ 0, nên SB không vuông góc với AB, do đó SB không vuông góc với CD. Khớp đáp án mã 211: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình tam giác SBO nên MN ∥ SO; SO ⊥ (ABCD) nên MN ⊥ (ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SB và (SAC) là góc BSO với tan(BSO) = BO/SO ≈ 1,5556/2,328 ≈ 0,668, suy ra góc ≈ 34°, không phải 38°.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ BD và AC ⊥ SO nên AC ⊥ (SBD).
d) (AI giải đề cho tôi)
CD ∥ AB và cos góc giữa SB và AB = 4,84/12,32 ≈ 0,393 ≠ 0 nên SB không vuông góc CD.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Đáy là hình vuông nên $AB\perp AD$. Mà $SA\cap AD=A$, $SA,AD\subset (SAD)$, do đó $AB\perp (SAD)$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.