Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chứng minh đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Mà $SA$ và $AD$ là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(SAD)$, do đó $CD\perp (SAD)$ → A đúng. Kiểm tra các phương án khác: B sai vì $AC$ chỉ vuông góc với $BD$ trong đáy, không vuông góc với toàn mặt phẳng $(SBD)$ (ví dụ $AC$ không vuông góc với $SB$); C sai vì $BD$ không vuông góc với $AB$ (góc giữa đường chéo và cạnh là $45^{\circ }$); D sai vì $BC$ không vuông góc với $CD$ (hai cạnh kề nhau của hình vuông).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(ABCD)$. Do $BC\subset (ABCD)$ nên $SA\perp BC$ → đáp án C. Các phương án khác sai: $SA$ không vuông góc $SD$, $SC$ vì $SD,SC$ không nằm trong $(ABCD)$ (tam giác $SAD$, $SAC$ vuông tại $A$ nhưng góc tại $S$ nhọn); $SD\perp BC$ sai vì $BC\parallel AD$ nên góc giữa $SD$ và $BC$ bằng góc giữa $SD$ và $AD$, mà góc $SDA$ nhọn trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Do đó $BD\perp (SAC)$ (cùng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC,SA$ trong mặt phẳng $(SAC)$). Các khẳng định còn lại sai: $AC$ không vuông góc với $BD$ nên không thể vuông góc với $(SBD)$; $BD$ không vuông góc với $AD$ hay $AC$ không vuông góc với $CD$ trong hình vuông. Đáp án khớp với mã đề 102, câu 7: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD,SA\perp CD,SA\perp BC,SA\perp AC$. Đáy là hình vuông nên $BD\perp AC$, $CD\perp AD$, $BC\perp AB$. Do đó: $BD\perp (SAC)$ (B đúng), $CD\perp (SAD)$ (C đúng), $BC\perp (SAB)$ (D đúng). Với A: $AC\perp BD$ và $AC\perp SA$ chỉ suy ra $AC\perp (SAB)$, không suy ra $AC\perp SB$ nên không có $AC\perp (SBD)$. Khẳng định sai là A, trùng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chóp tam giác đều S.ABC, G trọng tâm đáy. a) Đường cao của chóp tam giác đều đi qua trọng tâm đáy nên $SG\perp (ABC)$. Đúng. b) Hình chiếu của S trên $(ABC)$ là G, nên góc giữa SA và $(ABC)$ là góc giữa SA và AG, tức $\widehat{SAM}$ (M trung điểm BC, A, G, M thẳng hàng), không phải $\widehat{SAB}$. Sai. c) Tam giác ABC đều nên $AM\perp BC$; tam giác SBC cân tại S nên $SM\perp BC$; do đó $\widehat{SMA}$ là góc phẳng của nhị diện $[S,BC,A]$. Đúng. d) Vì $SG\perp (ABC)$ tại G nên $d(S,(ABC))=SG$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường cao của chóp tam giác đều đi qua trọng tâm đáy nên SG ⊥ (ABC).
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SA và (ABC) là góc giữa SA và hình chiếu AG, tức góc SAM (M trung điểm BC), không phải góc SAB.
c) (AI giải đề cho tôi)
AM ⊥ BC (ABC đều) và SM ⊥ BC (SBC cân tại S), nên góc SMA là góc phẳng nhị diện [S,BC,A].
d) (AI giải đề cho tôi)
SG ⊥ (ABC) tại G nên d(S,(ABC)) = SG.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh hình học quen thuộc với hình chóp có $SA\perp (ABCD)$, đáy là hình chữ nhật.

a) $CD\perp (SAD)$:
- Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp AD$.
- Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$ ($CD$ nằm trong đáy).
- $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$, nên $CD\perp (SAD)$.

b) $SC\perp (AHK)$:
- Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$; kết hợp $CD\perp AD$ (câu a) suy ra $CD\perp (SAD)$. Do đó $CD\perp AH$ ($AH$ nằm trong $(SAD)$).
- Trong tam giác $SCD$: $CD\perp (SAD)$ nên $CD\perp AD$, tức tam giác $SCD$ vuông tại $D$... xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp AD$). $K$ là hình chiếu của $A$ trên $SD$ nên $AK\perp SD$, tức $AK$ là đường cao của tam giác vuông $SAD$ đi từ $A$. Suy ra $AK\perp SD$, mà $SD\perp AK$ và $SD\perp AD$ nên $SD\perp (AKD)$... cách trực tiếp: trong tam giác vuông $SAD$, $AK\perp SD$.
- Xét tam giác $SAC$: $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SC$ nên $AH\perp SC$.
- $SC\perp AH$ và $SC\perp AK$ (vì $AK\perp SD$, mà $SC$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$... chính xác hơn: $AK\perp SD$ và $AK\perp CD$ (do $CD\perp (SAD)$) nên $AK\perp (SCD)$, do đó $AK\perp SC$).
- $SC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AH$ và $AK$ trong mặt phẳng $(AHK)$, nên $SC\perp (AHK)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy.
a) Trong hình vuông $ABCD$ có $BD\perp AC$; mà $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Vậy $BD\perp SA$ — đúng.
b) $CD\perp AD$ (hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), với $AD,SA\subset (SAD)$ cắt nhau tại $A$, nên $CD\perp (SAD)$ — đúng.
c) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$, do đó $(BC;SA)=90^{\circ }\ne 60^{\circ }$ — sai.
d) Trong hình vuông $ABCD$ có $AC\perp BD$ tại $O$. Để $AC\perp (SBD)$ cần thêm $AC\perp SO$ với $SO\subset (SBD)$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp AC$) nên $S{C}^2=S{A}^2+A{C}^2>S{A}^2$, tam giác không cân tại $A$; $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO$ là trung tuyến chứ không phải đường cao, tức $SO$ không vuông góc với $AC$ (nói chung, chỉ xảy ra khi $SA=AC$). Vậy $AC$ không vuông góc với $(SBD)$ — sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $BD\perp AC$ (hình vuông) và $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$, nên $CD\perp (SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $SA\perp BC$ nên $(BC;SA)=90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $AC\perp BD$ nhưng $SO$ không vuông góc $AC$ (tam giác $SAC$ vuông tại $A$ không cân tại $A$), nên $AC$ không vuông góc $(SBD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$, do đó A, B, C đều đúng (A: hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song; B: đường thẳng song song với đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì cũng vuông góc mặt phẳng; C: $b\subset (P)$ thì $b\perp a$). Mệnh đề D sai: nếu $a\perp b$ thì $b$ có thể nằm trong $(P)$ (khi đó $b$ không song song với $(P)$), hoặc $b$ song song với $(P)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ và $b\parallel a$ nên theo tính chất đường thẳng song song với đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có $b\perp (P)$. Do đó mệnh đề A ('Nếu $b\parallel a$ thì $b\parallel (P)$') là sai. Các mệnh đề còn lại đều đúng: B đúng theo lập luận trên; C đúng vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song; D đúng vì $b\parallel (P)$ thì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với $(P)$, đặc biệt $b\perp a$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OB\perp OA$ và $OB\perp OC$ mà $OA,OC$ cắt nhau tại $O$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(OAC)$, theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có $OB\perp (OAC)$. Các khẳng định khác sai: $OB$ nằm trong $(OBC)$ và $(OAB)$ nên không thể vuông góc với chúng; $OB$ không vuông góc với $(ABC)$ vì $OB$ không vuông góc với $BC$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$, do đó tam giác $SAB$ vuông tại $A$ và tam giác $SAC$ vuông tại $A$. Đáy $ABC$ vuông tại $B$ nên tam giác $ABC$ vuông. Vì $BC\perp AB$ (do $△ABC$ vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (do $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SB$, tức tam giác $SBC$ vuông tại $B$. Vậy cả 4 mặt đều là tam giác vuông, đáp án D. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 4: D).

Ta có $△ABC$ vuông tại $B$, $△SAB$ và $△SAC$ vuông tại $A$ (do $SA\perp (ABC)$), và $BC\perp (SAB)⟹BC\perp SB$ nên $△SBC$ vuông tại $B$. Vậy có $4$ mặt là tam giác vuông.