Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chứng minh đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

a) Vẽ được hình chóp, lấy được điểm $M$, $N$.

Chứng minh được $MN//AB$. (Talet hoặc đường trung bình)

Mà $AB\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$. Kết luận $MN//(ABCD)$.

b) Qua $P$ kẻ đường thẳng song song $AB$ và $MN$, cắt $AC$ tại $E$.

Suy ra $E\in (MNP)\cap (SAC)$. Từ đó $(MNP)\cap (SAC)=ME$.

Trong $(SAC)$, gọi $G$ là giao điểm của $ME$ và $SO$. Vậy $G$ giao điểm của $SO$ và $(MNP)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$ và $CD\not\subset (SAB)$ (do $S\notin (ABCD)$ nên $(SAB)\ne (ABCD)$), theo định lý đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $CD\parallel (SAB)$. Các phương án khác sai: $(ABCD)$ chứa $CD$; $(SAC)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $C$ nên cắt $CD$ tại $C$. Khớp đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A$ gốc, $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}=(1,0,0)$, $\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}=(0,1,0)$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\mathbf{v}=(0,0,1)$. Khi đó $I=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}=(1/3,1/3,0)$, $K=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{v}}{3}$, $G=\frac{\mathbf{c}+\mathbf{v}}{3}=(0,1/3,1/3)$.
a) Trong lăng trụ $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, $B{B}^{\prime }\not\subset$ mặt phẳng đó nên $B{B}^{\prime }\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$. Đúng.
b) Hai mặt đáy của lăng trụ song song nên $(ABC)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. Đúng.
c) $\overrightarrow{IG}=\frac{\mathbf{v}-\mathbf{b}}{3}$, đường thẳng $IG$: $(1/3-t/3,1/3,t/3)$. Mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ đi qua $B(1,0,0)$, $C(0,1,0)$ và chứa phương $\mathbf{v}$ nên có phương trình $x+y=1$. Giải $2/3-t/3=1\Rightarrow t=-1$, giao điểm $(2/3,1/3,-1/3)$ tồn tại nên $IG$ cắt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Đúng.
d) $(IKG)$ có hai vectơ chỉ phương $\mathbf{v}$ và $\mathbf{v}-\mathbf{b}$; $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ chứa $\mathbf{v}$ và $\mathbf{c}-\mathbf{b}$. Nếu song song thì $\mathbf{v}-\mathbf{b}$ phải cùng phương với mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, tức $\mathbf{v}-\mathbf{b}=\alpha \mathbf{v}+\beta (\mathbf{c}-\mathbf{b})$; so sánh hệ số theo $\mathbf{c}$ cho $\beta =0$, mâu thuẫn với hệ số theo $\mathbf{b}$ ($-1=-\beta$). Vậy hai mặt phẳng cắt nhau, không song song. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ với $C{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $B{B}^{\prime }\not\subset$ mặt phẳng nên $B{B}^{\prime }\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt đáy của lăng trụ song song với nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $I=(1/3,1/3,0)$, $G=(0,1/3,1/3)$, đường $IG$: $(1/3-t/3,1/3,t/3)$; mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: $x+y=1$; giải được $t=-1$ nên $IG$ cắt mặt phẳng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(IKG)$ là $\mathbf{b}\times \mathbf{v}$, của $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $\mathbf{v}\times (\mathbf{c}-\mathbf{b})$; hai vectơ này không cùng phương nên hai mặt phẳng không song song (chúng cắt nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ABCD là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có $CD\subset (SCD)$ và $AB\not\subset (SCD)$, theo định lý đường thẳng song song với mặt phẳng suy ra $AB\parallel (SCD)$. Các mặt phẳng $(SAC),(SAD),(SBD)$ đều chứa điểm A hoặc B nên AB cắt (hoặc nằm trong) chúng, không song song. Đáp án D khớp bảng đáp án mã đề 401 (Câu 9 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Trong tam giác $ABC$, $I$ là trọng tâm nên $I$ thuộc trung tuyến $BM$, do đó $IM=\frac{1}{3}MB$. Trong tam giác $ACD$, $J$ là trọng tâm nên $J$ thuộc trung tuyến $DM$, do đó $JM=\frac{1}{3}MD$. Xét tam giác $MBD$: vì $\frac{MI}{MB}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$ nên theo định lý Thales (đảo), $IJ\parallel BD$. Mà $BD\subset (BCD)$ và $IJ\not\subset (BCD)$ (vì $I\notin (BCD)$ do $I$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ và tứ diện không suy biến). Vậy theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $IJ\parallel (BCD)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: gọi $\vec{u}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ là vectơ chỉ phương của trụ, khi đó $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{u}$. Lấy gốc tùy ý, ta có:
$$I=\frac{A+C+A^{\prime }+C^{\prime }}{4}=\frac{A+C+\vec{u}}{2},J=\frac{B+C+\vec{u}}{2},K=\frac{A+B+\vec{u}}{2}.$$

**1)** Ta có
$$\overrightarrow{IJ}=J-I=\frac{B-A}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB},$$
suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $AB\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $I\notin (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $IJ\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Tương tự:
$$\overrightarrow{JK}=K-J=\frac{A-C}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}\parallel AC\Rightarrow JK\parallel (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }),$$
$$\overrightarrow{IK}=K-I=\frac{B-C}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\parallel BC\Rightarrow IK\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }).$$

**2)** Điểm trên đường thẳng $AJ$ có dạng $A+s(J-A)=A+\frac{s}{2}(B+C+\vec{u}-2A)$; điểm trên đường thẳng $CK$ có dạng $C+t(K-C)=C+\frac{t}{2}(A+B+\vec{u}-2C)$. So sánh hệ số theo các vectơ độc lập tuyến tính $\overrightarrow{O_{0}A},\overrightarrow{O_{0}B},\overrightarrow{O_{0}C},\vec{u}$ (gốc $O_0$ tùy ý; bốn vectơ này độc lập vì $A,B,C$ không thẳng hàng và $\vec{u}$ không nằm trong mặt phẳng đáy):
- Hệ số của $B$: $s=t$.
- Hệ số của $A$: $1-s=\frac{t}{2}\Rightarrow s=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn hệ số của $C$ và $\vec{u}$).

Vậy $AJ$ và $CK$ cắt nhau tại
$$O=A+\frac{1}{3}(B+C+\vec{u}-2A)=\frac{A+B+C+\vec{u}}{3}.$$
Kiểm tra $BI$: điểm trên $BI$ có dạng $B+r(I-B)=B+\frac{r}{2}(A+C+\vec{u}-2B)$; cho bằng $O$ ta được $r=\frac{2}{3}$, thỏa mọi hệ số. Vậy $BI$ cũng đi qua $O$, tức ba đường thẳng $AJ,CK,BI$ đồng quy tại $O=\frac{A+B+C+\vec{u}}{3}$.

**3)** Từ câu 1: $IJ\parallel AB$ và $IK\parallel BC$, trong đó $IJ\cap IK=I$, $AB\cap BC=B$. Hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng $(IJK)$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng $(ABC)$, mặt khác $(IJK)\not\equiv (ABC)$, nên $(IJK)\parallel (ABC)$. (Thực chất tam giác $IJK$ là ảnh của tam giác $ABC$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $\frac{1}{2}$.)

**4)** Trọng tâm $G=\frac{A+B+C}{3}$, và
$$G^{\prime }=\frac{A^{\prime }+B^{\prime }+C^{\prime }}{3}=\frac{A+B+C+3\vec{u}}{3}=G+\vec{u}.$$
Khi đó
$$O=\frac{A+B+C+\vec{u}}{3}=G+\frac{1}{3}\vec{u}=G+\frac{1}{3}(G^{\prime }-G)=\frac{2G+G^{\prime }}{3}.$$
Vậy $O$ nằm trên đoạn $G{G}^{\prime }$ với $\overrightarrow{GO}=\frac{1}{3}\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$, tức $O,G,G^{\prime }$ thẳng hàng (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AF}=\vec{e}$. Khi đó $\overrightarrow{AE}=\vec{b}+\vec{e}$ (vì $ABEF$ là hình bình hành), $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$.

Ta có:
$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{e}),\overrightarrow{AN}=\vec{b}+\frac{1}{x}(\vec{d}-\vec{b})=\left(1-\frac{1}{x}\right)\vec{b}+\frac{1}{x}\vec{d}.$$

Suy ra
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{x}\right)\vec{b}+\frac{1}{3x}\vec{d}-\frac{1}{3}\vec{e}.$$

Mặt phẳng $(CDFE)$ chứa hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{DC}=\vec{b}$ và $\overrightarrow{DF}=\vec{e}-\vec{d}$. Để $MN\parallel (CDFE)$ thì $\overrightarrow{MN}$ phải là tổ hợp tuyến tính của $\vec{b}$ và $\vec{e}-\vec{d}$:
$$\overrightarrow{MN}=a\vec{b}+t(\vec{e}-\vec{d})=a\vec{b}+t\vec{e}-t\vec{d}.$$

So sánh hệ số: hệ số của $\vec{e}$ cho $t=-\frac{1}{3}$; hệ số của $\vec{d}$ cho $\frac{1}{3x}=-t=\frac{1}{3}\Rightarrow x=1$. Khi đó $a=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$, tức $\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}(\vec{e}-\vec{d})$, thực sự song song với mặt phẳng $(CDFE)$.

Vậy $x=1$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$ (do $M\notin (BCD)$ vì $M$ nằm trên $AB$ mà $AB$ chỉ cắt $(BCD)$ tại $B$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng thì $MN\parallel (BCD)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$ nên theo định lí đường trung bình, $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$. Vì $AB\subset (ABCD)$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$ nên theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$. Đáp án khớp với mã đề 1246: B.

Theo HD chấm (trang 14), mã 1103 ghi 'GIỐNG 1101', giải giống mã 1101: Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Chỉ ra được $\frac{MI}{MS}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$ . Kết luận được $IJ\parallel SD$. Vậy $\{\begin{array}{l}IJ\parallel SD\\ IJ\not\subset (SBD)\\ SD\subset (SBD)\end{array}\Rightarrow IJ\parallel (SBD)$

a) PT // SA (PT là đường trung bình tam giác SAB). Mà SA ⊂ (SAC) nên $PT$ // $(SAC)$
b) PT // SA ⇒ PT // (SAD). OT // AD (OT là đường trung bình tam giác ABD) ⇒ OT // (SAD). PT ∩ OT = T. Vậy $(OPT)$ // $(SAD)$

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN//AD$. Vì $AD\subset (ABCD)$ và $AD\subset (SAD)$ nên $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAD)$ (không song song với $(SAD)$), và $MN\subset (SAD)$ với $AD\subset (ABCD)$, $MN\not\subset (ABCD)$, do đó $MN$ song song với $(ABCD)$, không cắt $(ABCD)$ — loại A, B. Xét mặt phẳng $(SBC)$: trong tam giác $SAD$, $MN//AD$; mà $AD//BC$ (đáy là hình thang) nên $MN//BC$. Vì $BC\subset (SBC)$ và $MN\not\subset (SBC)$ (vì $AD>BC$ nên $MN$ không trùng đường thẳng qua $S$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $MN//(SBC)$. Vậy khẳng định đúng là C. Với $(SAB)$: $MN$ cắt $SA$ tại $M$ nên không thể song song với $(SAB)$ — loại D. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định:
- A đúng: Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng $(P)$, có vô số đường thẳng đi qua điểm đó và song song với $(P)$ (mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm đó và $(Q)//(P)$).
- B sai: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau. Ví dụ trong hình hộp, hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng khác nhau cùng song song với đáy có thể chéo nhau. Vậy B là khẳng định sai.
- C đúng: Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng $(P)$ tại điểm $M$ thì $M$ không thuộc $(Q)$ (vì $(P)//(Q)$), đường thẳng không thể song song với $(Q)$ (nếu song song với $(Q)$ thì không cắt $(P)$), nên nó cắt $(Q)$.
- D đúng: Bốn điểm không đồng phẳng, lấy mỗi điểm nối với ba điểm còn lại tạo thành một tứ diện.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 15.** Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng, tâm lần lượt là $O$, $O^{\prime }$; $M\in AE$ với $AM=\frac{1}{3}AE$, $N\in BD$ với $BN=\frac{1}{3}BD$.

**a) $O{O}^{\prime }\parallel (ADF)$**

Xét tam giác $BDF$:
- $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $BD$.
- $O^{\prime }$ là tâm hình bình hành $ABEF$ nên $O^{\prime }$ là trung điểm của $BF$ (vì $BF$ là đường chéo của hình bình hành $ABEF$).

Vậy trong tam giác $BDF$, $O{O}^{\prime }$ là đường trung bình, suy ra
$$O{O}^{\prime }\parallel DF.$$

Mà $DF\subset (ADF)$ và $O{O}^{\prime }\not\subset (ADF)$ (vì $O,O^{\prime }$ không thuộc mặt phẳng $(ADF)$: nếu $O\in (ADF)$ thì $B\in (ADF)$, suy ra $A,B,D,F$ đồng phẳng, mâu thuẫn với giả thiết hai hình bình hành không cùng mặt phẳng). Do đó
$$O{O}^{\prime }\parallel (ADF).$$

**b) $MN\parallel (CDFE)$**

Vì $ABCD$ và $ABEF$ là các hình bình hành nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$, do đó $DC\parallel EF$ và $DC=EF$, tức bốn điểm $C,D,F,E$ xác định một mặt phẳng (chứa hai đường thẳng song song $DC$ và $EF$).

Chọn $A$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$, $\overrightarrow{AE}=\vec{w}$. Khi đó
$$\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}.$$

Ta có:
$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\vec{w},$$
$$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}=\vec{u}+\frac{1}{3}(\vec{v}-\vec{u})=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}.$$

Suy ra
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}-\frac{1}{3}\vec{w}=\frac{1}{3}\left(2\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}\right).$$

Lấy điểm $K$ trên tia $DC$ sao cho $CK=DC$ (nghĩa là $\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{DC}=\vec{u}$). Khi đó
$$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{u}=2\vec{u}+\vec{v},$$
$$\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AE}=2\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}=3\overrightarrow{MN}.$$

Vậy $MN\parallel EK$.

Mà $K$ thuộc đường thẳng $DC\subset (CDFE)$ nên $EK\subset (CDFE)$, và $MN\not\subset (CDFE)$ (vì $M\in AE$, nếu $MN\subset (CDFE)$ thì $M\in (CDFE)$, suy ra mặt phẳng $(AEK)$ trùng $(CDFE)$, khi đó $A\in (CDFE)$, tức $A,B,C,D,E,F$ đồng phẳng — mâu thuẫn giả thiết).

Do đó $MN$ song song với mặt phẳng $(CDFE)$. $■$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD\parallel AB$, mà $AB\subset (SAB)$ và $CD\not\subset (SAB)$, do đó $CD\parallel (SAB)$. Chọn C.