Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng và có tâm lần lượt là $O$ và $O^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên các cạnh $AE,BD$ sao cho $AM=\frac{1}{3}AE$, $BN=\frac{1}{3}BD$. Chứng minh:
a) $O{O}^{\prime }$ song song với mặt phẳng $(ADF)$
b) $MN$ song song với mặt phẳng $(CDFE)$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 15.** Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng, tâm lần lượt là $O$, $O^{\prime }$; $M\in AE$ với $AM=\frac{1}{3}AE$, $N\in BD$ với $BN=\frac{1}{3}BD$.

**a) $O{O}^{\prime }\parallel (ADF)$**

Xét tam giác $BDF$:
- $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $BD$.
- $O^{\prime }$ là tâm hình bình hành $ABEF$ nên $O^{\prime }$ là trung điểm của $BF$ (vì $BF$ là đường chéo của hình bình hành $ABEF$).

Vậy trong tam giác $BDF$, $O{O}^{\prime }$ là đường trung bình, suy ra
$$O{O}^{\prime }\parallel DF.$$

Mà $DF\subset (ADF)$ và $O{O}^{\prime }\not\subset (ADF)$ (vì $O,O^{\prime }$ không thuộc mặt phẳng $(ADF)$: nếu $O\in (ADF)$ thì $B\in (ADF)$, suy ra $A,B,D,F$ đồng phẳng, mâu thuẫn với giả thiết hai hình bình hành không cùng mặt phẳng). Do đó
$$O{O}^{\prime }\parallel (ADF).$$

**b) $MN\parallel (CDFE)$**

Vì $ABCD$ và $ABEF$ là các hình bình hành nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$, do đó $DC\parallel EF$ và $DC=EF$, tức bốn điểm $C,D,F,E$ xác định một mặt phẳng (chứa hai đường thẳng song song $DC$ và $EF$).

Chọn $A$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$, $\overrightarrow{AE}=\vec{w}$. Khi đó
$$\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}.$$

Ta có:
$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\vec{w},$$
$$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}=\vec{u}+\frac{1}{3}(\vec{v}-\vec{u})=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}.$$

Suy ra
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}-\frac{1}{3}\vec{w}=\frac{1}{3}\left(2\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}\right).$$

Lấy điểm $K$ trên tia $DC$ sao cho $CK=DC$ (nghĩa là $\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{DC}=\vec{u}$). Khi đó
$$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{u}=2\vec{u}+\vec{v},$$
$$\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AE}=2\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}=3\overrightarrow{MN}.$$

Vậy $MN\parallel EK$.

Mà $K$ thuộc đường thẳng $DC\subset (CDFE)$ nên $EK\subset (CDFE)$, và $MN\not\subset (CDFE)$ (vì $M\in AE$, nếu $MN\subset (CDFE)$ thì $M\in (CDFE)$, suy ra mặt phẳng $(AEK)$ trùng $(CDFE)$, khi đó $A\in (CDFE)$, tức $A,B,C,D,E,F$ đồng phẳng — mâu thuẫn giả thiết).

Do đó $MN$ song song với mặt phẳng $(CDFE)$. $■$