Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $OC$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ và $(\alpha )$ song song với $SA$ và $BD$. Thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ và mp$(\alpha )$ là hình gì?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0,0,0)$, $B(b,0,0)$, $C(b,c,0)$, $D(0,c,0)$, $O\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},0\right)$, $S\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},h\right)$. Trung điểm $M$ của $OC$ là $M\left(\frac{3b}{4},\frac{3c}{4},0\right)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ có hai vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(b,-c,0)$ (song song $BD$) và ${\vec{u}}_2=\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},h\right)$ (song song $SA$), nên điểm thuộc $(\alpha )$ có dạng $M+t(b,-c,0)+s\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},h\right)$.

- Giao với mặt đáy ($z=0\Rightarrow s=0$): đường thẳng qua $M$ song song $BD$, cắt $BC$ tại $P\left(b,\frac{c}{2},0\right)$ (trung điểm $BC$) và cắt $CD$ tại $Q\left(\frac{b}{2},c,0\right)$ (trung điểm $CD$).
- Giao với mặt $(SBC)$: điểm trên $SC$ có dạng $C+u(S-C)=\left(b-\frac{ub}{2},c-\frac{uc}{2},uh\right)$. Thay vào phương trình của $(\alpha )$: từ tung độ $z$ được $s=u$; từ $x$: $\frac{3}{4}+t+\frac{u}{2}=1-\frac{u}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{4}-u$; từ $y$: $\frac{3}{4}-t+\frac{u}{2}=1-\frac{u}{2}\Rightarrow t=u-\frac{1}{4}$. Suy ra $u=\frac{1}{4}$, tức giao điểm $R$ trên $SC$ với $CR=\frac{1}{4}SC$: $R=\left(\frac{7b}{8},\frac{7c}{8},\frac{h}{4}\right)$.
- Giao với mặt $(SCD)$: điểm dạng $C+u(S-C)+v(D-C)$. Tương tự thu được $v=\frac{1}{2}-2u$ với $0\le u\le \frac{1}{4}$: hai đầu mút là $u=0,v=\frac{1}{2}$ cho đúng điểm $Q$ và $u=\frac{1}{4},v=0$ cho đúng điểm $R$. Vậy giao tuyến trên mặt $(SCD)$ là đoạn $QR$.
- Với $(SAB)$ và $(SAD)$: giải hệ cho tham số nằm ngoài đoạn nên $(\alpha )$ không cắt hai mặt bên này (do $(\alpha )\parallel SA$).

Vậy thiết diện là tam giác $PQR$ với $P$ trung điểm $BC$, $Q$ trung điểm $CD$, $R$ thuộc $SC$ sao cho $CR=\frac{1}{4}SC$. Đáp án: hình tam giác.