Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh $AB$ và $CD$. Đặt $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $MN$ và song song với $BC$. Tìm giao tuyến của $(\alpha )$ với các mặt của tứ diện $ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Cách dựng: Trong mặt phẳng $(ABC)$, qua $M$ vẽ đường thẳng song song với $BC$, cắt $AC$ tại $P$. Vì $(\alpha )$ chứa $M$ và $(\alpha )\parallel BC$ nên giao tuyến của $(\alpha )$ với mặt $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ song song $BC$, tức $MP$. Tương tự, trong mặt phẳng $(BCD)$, qua $N$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $BD$ tại $Q$; đó là giao tuyến của $(\alpha )$ với mặt $(BCD)$. Khi đó: $(\alpha )\cap (ABC)=MP$ ($MP\parallel BC$); $(\alpha )\cap (BCD)=NQ$ ($NQ\parallel BC$); $(\alpha )\cap (ABD)=MQ$ vì $M\in AB$, $Q\in BD$ đều thuộc $(ABD)$ và thuộc $(\alpha )$; $(\alpha )\cap (ACD)=NP$ vì $N\in CD$, $P\in AC$ đều thuộc $(ACD)$ và thuộc $(\alpha )$. Vậy thiết diện của $(\alpha )$ với tứ diện là tứ giác $MPNQ$ (với $MP\parallel NQ$ cùng song song $BC$). Lưu ý: nếu $M$ trùng $A$ hoặc $N$ trùng $D$... thì một số cạnh của tứ giác suy biến thành tam giác, nhưng với $M,N$ là điểm bất kỳ trong lòng hai cạnh, kết quả là tứ giác $MPNQ$.