Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tính góc nhị diện không tọa độ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện có cạnh là bản lề máy tính, mặt phẳng chứa tam giác ABC với A là đỉnh trên bản lề. Trong tam giác ABC có AB = AC = 30 cm, BC = 30√3 cm, áp dụng định lí cosin: cos A = (AB² + AC² − BC²)/(2·AB·AC) = (900 + 900 − 2700)/1800 = −1/2. Suy ra góc A = 120°, tức độ mở của màn hình α = 120. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III câu 3 = 120).

Giao tuyến của hai mặt phẳng $(BC{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $BC$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$ có $AB\perp BC$. Trong mặt phẳng $(BC{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ có $A^{\prime }B\perp BC$ (vì $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$). Do đó góc giữa hai mặt phẳng chính là góc $\widehat{A^{\prime }BA}=45^{\circ }$ (vì hình chữ nhật $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình vuông).

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $AM\perp BC$ và $A^{\prime }M\perp BC$, nên góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{AM{A}^{\prime }}$. Vì $△ABC$ đều cạnh $2a$ nên $AM=a\sqrt{3}$. Khi đó $\tan \widehat{AM{A}^{\prime }}=\frac{A{A}^{\prime }}{AM}=\frac{3a}{a\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{AM{A}^{\prime }}=60^{\circ }$.