Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi lớn nhất. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $(P)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=3$ và công sai $d=2$. Số hạng $u_5$ là

Hệ số của $x^6$ trong khai triển nhị thức $(x+1{)}^{10}$ là

Có bao nhiêu loại khối đa diện đều?

Cho hai số phức $z_1=2+3i$ và $z_2=-4-5i$. Số phức $z_1+z_2$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình $3f(x)-2=0$ là

Cho số phức $z=i(1-2i)$. Tổng phần thực và phần ảo của $\overline{z}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+3z-4=0$. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{4x+1}{x-1}$ là

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

Trong không gian $Oxyz$, cho $\overrightarrow{OA}=2\vec{i}+4\vec{j}-6\vec{k}$ và $\overrightarrow{OB}=9\vec{i}+7\vec{j}+4\vec{k}$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là

Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>9$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho các phương trình sau:
i. $(x-1{)}^2+y^2+z^2=1$;
ii. $x^2+(2y-1{)}^2+z^2=4$;
iii. $x^2+y^2+z^2+1=0$;
iv. $(2x+1{)}^2+(2y-1{)}^2+4z^2=16$.
Số phương trình là phương trình mặt cầu là

Cho các số thực $a,b,m,n(a,b>0)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình nón có bán kính đáy bằng $2$ và độ dài đường sinh bằng $5$. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

Tính thể tích $V$ của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=\pi$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le \pi )$ là một tam giác đều cạnh bằng $2\cos x$ là

Cho số phức $z$ thỏa mãn $(2+i)z-4(\overline{z}-i)=-8+19i$. Phần thực của số phức $z$ bằng

Cho hình trụ có bán kính đáy $R=8$ và diện tích xung quanh bằng $48\pi$. Chiều cao của hình trụ đã cho bằng

Tập nghiệm $S$ của phương trình $3^{x^2+2x}=27$ là

Môđun của số phức $z=4-3i$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(1;1;-2)$ và $\vec{v}=(1;0;m)$. Tìm giá trị của $m$ để góc giữa hai vectơ $\vec{u},\vec{v}$ bằng $45^{\circ }$.

Từ một nhóm học sinh gồm $4$ nam và $5$ nữ, chọn ngẫu nhiên $3$ học sinh. Tính xác suất để $3$ học sinh được chọn có ít nhất $2$ học sinh nữ.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên.

Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$ và $A{A}^{\prime }=3a$. Góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ bằng

Diện tích hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi các đường $y=x^2+1$, $y=3x-1$ là

Tập xác định của hàm số $y={\left(x^2-5x+4\right)}^{\frac{-1}{2}}$ là

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx-1}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị của tổng $S=a+b+c$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ có $\int f(x)dx=(x-2)\cos x+C$. Tính $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x^2-9x-1$ trên đoạn $[1;5]$. Tính giá trị $T=2M-m$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$ (tham khảo hình dưới đây).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C):y=\frac{-x+3}{x-1}$ tại điểm có hoành độ $x=0$ là

Bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)<{\log }_{\frac{1}{2}}(2x-1)$ có tập nghiệm là $(a;b)$. Tổng $a+b$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(Q):x+2y+2z-3=0$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ $O$, $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$ và cách mặt phẳng $(Q)$ một khoảng bằng $1$. Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là

Tính diện tích xung quanh của hình trụ $(T)$, biết rằng khi cắt hình trụ $(T)$ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng $2a$, ta được thiết diện là hình vuông có diện tích bằng $36a^2$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $6f(x^2-4x)=m$ có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng $(0;+\infty )$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a\sqrt{3}$, $AD=a$, $SA\perp (ABCD)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(SBD)$ bằng $\frac{a\sqrt{21}}{7}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(2)=3$; ${\int }_0^{2}f(x)dx=-1$. Tính tích phân $I={\int }_0^4{f}^{\prime }\left(\sqrt{x}\right)dx$ ta được

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $f(x)=(m+1)x^3-(2m-1)x^2+x-1$ không có điểm cực đại?

Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình dưới đây. Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$, các đường thẳng $x=-1,x=2$ và trục hoành.

Cho hàm số $f(x)=\ln \frac{x}{x+2}$. Giá trị của biểu thức $P=f^{\prime }(1)+f^{\prime }(3)+f^{\prime }(5)+\cdots +f^{\prime }(2023)$ là

Cho phương trình ${\log }_2(2x^2-4x+6)=2^{y^2}+y^2-x^2+2x-2$. Có bao nhiêu cặp số $(x;y)$ với $-10<x<10,y\in \mathbb{N}$ thỏa mãn phương trình đã cho?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa trục $Ox$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $2$ là

Cho lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Biết khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ bằng $a$, góc giữa hai mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng $\alpha$ với $\cos \alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Một chiếc đồng hồ cát gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ như hình vẽ (mặt nằm ngang là mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu ngoại tiếp hình trụ và song song với hai mặt đáy của hình trụ). Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ cát thì chiều cao $h$ của mực cát bằng $\frac{3}{4}$ chiều cao của phần trên đó. Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi $2,90{\text{ (cm}}^3/\text{phuˊt)}$. Khi chiều cao của cát còn $4\text{ cm}$ thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi $8\pi \text{ (cm)}$. Biết sau $30$ phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài gần với số nào nhất?

Cho hàm số $f(x)$ là một hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số $f\left({\log }_2(x^2+2x+2)\right)$ có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số $f(2x-1)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?