Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(1;1;-2)$ và $\vec{v}=(1;0;m)$. Tìm giá trị của $m$ để góc giữa hai vectơ $\vec{u},\vec{v}$ bằng $45^{\circ }$.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=3,AD=4,A{A}^{\prime }=5$. Biết $BAD=90^{\circ },BA{A}^{\prime }=DA{A}^{\prime }=60^{\circ }$. Số đo góc giữa vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và vectơ $\overrightarrow{D^{\prime }C}$ bằng bao nhiêu độ? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai véc tơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ có $|\vec{u}|=2\sqrt{5},|\vec{v}|=\sqrt{5},|\vec{u}-2\vec{v}|=2\sqrt{5}$. Tìm số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $(\vec{u}-\vec{v})$.

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(2t;2t;0)$, $B(0;0;t)$ với $t>0$. Cho điểm $P$ di động thỏa mãn $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=3$. Biết rằng có giá trị $t=\frac{a}{b}$ với $a,b$ nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản sao cho $OP$ đạt giá trị lớn nhất là $3$. Tính giá trị $Q=2a+b$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a}=(1;2;1)$ và $\vec{b}=(x;1-x;2)$. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của $x$ để $|\vec{a}+\vec{b}|=5$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}(-\sqrt{3};0;1)$, $\vec{v}(0;1;1)$ khi đó

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;0;1),B(0;5;-1)$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ bằng