Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $f(x)=(m+1)x^3-(2m-1)x^2+x-1$ không có điểm cực đại?

Ta có $f^{\prime }(x)=3(m+1)x^2-2(2m-1)x+1$. Nếu $m=-1$ thì $f^{\prime }(x)=6x+1$ chỉ có điểm cực tiểu $x=-\frac{1}{6}$, không có cực đại (nhận). Nếu $m\ne -1$, hàm bậc ba không có cực đại khi nó không có cực trị, tức ${\Delta }^{\prime }=(2m-1{)}^2-3(m+1)=4m^2-7m-2\le 0\iff -\frac{1}{4}\le m\le 2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1;2\}$, có $4$ giá trị nguyên.