Câu 5. Cho hình chóp $S.ABC$ có $\Delta ABC$, $\Delta SAB$ là các tam giác đều và mặt bên $(SAB)$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $\alpha$ là số đo của góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$. Tính ${\cos }^2\alpha$.

Gọi $a$ là độ dài cạnh của hai tam giác đều cạnh bằng nhau $\Delta ABC$ và $\Delta SAB$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì $\Delta SAB$ đều nên $SH\perp AB$ và $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Do $(SAB)\perp (ABC)$ nên $SH\perp (ABC)$.
Kẻ $HK\perp BC$ tại $K$. Theo định lý ba đường vuông góc, $SK\perp BC$.
Do đó góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là góc $\widehat{SKH}=\alpha$.
Trong $\Delta ABC$ đều, $\hat{B}=60^{\circ }⟹HK=HB\sin 60^{\circ }=\frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Trong tam giác vuông $SHK$ tại $H$:
$SK=\sqrt{S{H}^2+H{K}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{16}}=\sqrt{\frac{15a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{15}}{4}.$
Suy ra $\cos \alpha =\frac{HK}{SK}=\frac{a\sqrt{3}/4}{a\sqrt{15}/4}=\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Do đó ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}=0,2$.
Đáp án: 0,2.