Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tập xác định và giá trị hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$, $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$.

a) Vì $-1\le \sin \le 1$ nên $9\le d(t)\le 15$. Giá trị $15$ đạt được khi $\frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=171$ (thuộc miền xác định); giá trị $9$ đạt được khi $t-80=273\Rightarrow t=353$ (thuộc miền xác định). Vậy tập giá trị là $[9;15]$. Đúng.

b) $d(t)=12\iff \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=0\iff t-80=182k\iff t=80$ hoặc $t=262$ (với $k=0,1$ trong miền xác định). Như vậy có 2 ngày (ngày 80 và ngày 262), không phải một ngày duy nhất. Sai.

c) $d(353)=3\sin \left(\frac{\pi }{182}\cdot 273\right)+12=3\sin \frac{3\pi }{2}+12=3(-1)+12=9$. Đúng.

d) $d(107)=3\sin \left(\frac{27\pi }{182}\right)+12\approx 3(0,449)+12\approx 13,35\ne 15$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị là [9;15], cả hai đầu mút đều đạt được tại t=171 và t=353.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(t)=12 tại t=80 và t=262, tức có 2 ngày chứ không phải một ngày duy nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(353)=3sin(3π/2)+12=9.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(107)=3sin(27π/182)+12≈13,35≠15.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tập giá trị của từng hàm số:
- $y=\sin 4x$: tập giá trị là $[-1;1]$.
- $y=\cos 2x$: tập giá trị là $[-1;1]$.
- $y=\cot x$: tuy nhận mọi giá trị thực trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, nhưng hàm số không xác định trên toàn $\mathbb{R}$ (không xác định tại $x=k\pi$), nên không thỏa mãn yêu cầu của đề theo cách hiểu thông thường trong chương trình phổ thông.
- $y=x^3$: hàm số liên tục, xác định trên toàn $\mathbb{R}$ và là song ánh từ $\mathbb{R}$ lên $\mathbb{R}$, nên tập giá trị là $\mathbb{R}$.
Vậy chọn đáp án D.
(Lưu ý: về mặt toán học thuần túy, $y=\cot x$ cũng có tập giá trị là $\mathbb{R}$ trên tập xác định của nó; đáp án D phù hợp với ý đồ của đề gốc — hàm có tập giá trị là $\mathbb{R}$ và xác định trên toàn $\mathbb{R}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\tan (-x)$ chỉ xác định khi $-x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}\ne \mathbb{R}$, ý a) sai. Vì $\tan$ là hàm lẻ nên $f(x)=\tan (-x)=-\tan x$ với mọi $x\in D$, ý b) sai. $f(x)=1\iff \tan (-x)=1\iff -x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, ý c) đúng. Trên đoạn $[-\pi ;2\pi ]$ các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$, tổng bằng $-\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}+\frac{7\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$, ý d) đúng. Kết quả S S Đ Đ khớp với đáp án nguồn (trang 9, mã đề 1102, câu 13: SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $-x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}\ne \mathbb{R}$; ý a) sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f(x)=\tan (-x)=-\tan x$ vì $\tan$ là hàm lẻ, không phải $\tan x$; ý b) sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\tan (-x)=1\iff -x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$; ý c) đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Các nghiệm thuộc $[-\pi ;2\pi ]$ là $-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$, tổng $=\frac{9\pi }{4}$; ý d) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\cos 3x}{\sin x}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Lưu ý: mặc dù tại $x=k\pi$ tử số $1-\cos 3k\pi =0$, hàm số vẫn không xác định vì mẫu bằng 0, nên không thể rút gọn trước khi tìm tập xác định. Kết quả khớp với đáp án D (bảng đáp án mã đề 111, câu 12).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x\in [-1;1]$, khi đó $y=2-2t-\cos 2x=2-2t-(1-2t^2)=2t^2-2t+1$. Xét $f(t)=2t^2-2t+1$ trên $[-1;1]$: đỉnh $t=\frac{1}{2}$ cho $f\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{4}-1+1=\frac{1}{2}$; tại $t=-1$: $f(-1)=2+2+1=5$; tại $t=1$: $f(1)=1$. Vậy $T=\left[\frac{1}{2};5\right]$, tức $a=\frac{1}{2}$, $b=5$. Suy ra $P=10a-2b=5-10=-5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 2: $-5$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Khớp với đáp án A (bảng đáp án mã đề 0101 cho Câu 3 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=2\cos x+1$.
a) $f(\pi /2)=2\cos (\pi /2)+1=2\cdot 0+1=1\ne 5$ → Sai.
b) $\cos x$ tuần hoàn chu kì $2\pi$ nên $f(x+2\pi )=2\cos (x+2\pi )+1=f(x)$; chu kì nhỏ nhất là $2\pi$ → Đúng.
c) $f(x)=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$. Trên $[0;5\pi )$: $x=\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{8\pi }{3},\frac{10\pi }{3},\frac{14\pi }{3}$ (vì $\frac{14\pi }{3}<5\pi$, nghiệm kế tiếp $\frac{16\pi }{3}>5\pi$) → đúng 5 nghiệm → Đúng.
d) $-1\le \cos x\le 1$ nên $\min f(x)=2(-1)+1=-1\ne -3$ → Sai. Khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(\pi /2)=2\cos (\pi /2)+1=1\ne 5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+2\pi )=2\cos (x+2\pi )+1=f(x)$, chu kì $2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=-1/2$ cho 5 nghiệm $\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{8\pi }{3},\frac{10\pi }{3},\frac{14\pi }{3}$ thuộc $[0;5\pi )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất là $2(-1)+1=-1$, không phải $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f(x)=2\cos x+1$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$: đúng. b) $f(x+2\pi )=2\cos (x+2\pi )+1=2\cos x+1=f(x)$ với mọi $x$, nên $f$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$: đúng. c) $g(x)=\sin x+\tan x$ cần $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Đề phát biểu $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{3}+k\pi \right\}$ là sai (ví dụ $x=\frac{\pi }{2}$ thuộc tập theo đề nhưng $\tan \frac{\pi }{2}$ không xác định). d) $g(x+2\pi )=\sin (x+2\pi )+\tan (x+2\pi )=\sin x+\tan x=g(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, nên $g$ là hàm tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$; khẳng định '$g$ không tuần hoàn' là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2\cos x+1$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+2\pi )=2\cos (x+2\pi )+1=f(x)$ với mọi $x$, nên $f$ tuần hoàn chu kỳ $2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x$ yêu cầu $\cos x\ne 0$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, không phải $\frac{\pi }{3}+k\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x+2\pi )=\sin x+\tan x=g(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, nên $g$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1$, tức là $\frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $t-80=-91+364k$, tức $t=-11+364k$. Vì $0<t\le 365$ và $t\in \mathbb{Z}$, với $k=1$ ta được $t=353$ (với $k=0$ thì $t=-11$ không thỏa mãn). Vậy ngày thứ $353$ của năm (khoảng ngày 19 tháng 12) là ngày thành phố $T$ có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất, khi đó $d(353)=12-3=9$ giờ. Bạn An nên chọn đi vào ngày thứ $353$ của năm.

(AI giải đề cho tôi)
Phần II Câu 1: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai — khớp đáp án nguồn (D - S - S - S).
a) $g(x)=\sin x+\cos x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$: Đúng.
b) $g(x)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ nên tập giá trị là $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, không phải $[-2;2]$: Sai.
c) $f(x)=\tan x$ cắt trục hoành khi $\tan x=0\iff x=k\pi$. Trên $\left[-\frac{3\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$ có $x=-\pi ,0,\pi$: 3 điểm (lưu ý $\tan x$ xác định tại các điểm đó): Sai.
d) $f(x)=\tan x$ chỉ đồng biến trên từng khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$): Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ và $\cos x$ đều xác định trên $\mathbb{R}$ nên tập xác định của $g(x)$ là $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ nên tập giá trị là $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]\ne [-2;2]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x=0\iff x=k\pi$; trên $\left[-\frac{3\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$ có $x=-\pi ,0,\pi$ tức 3 điểm giao, không phải 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x$ chỉ đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ và không xác định trên toàn $\mathbb{R}$, nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

a) Đúng.

b) Sai.

c) Sai. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ là $-2$.

d) Đúng: $2\cos x=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pm 2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trên khoảng $(0;2\pi )$ phương trình có đúng 2 nghiệm $x=\frac{2\pi }{3},x=\frac{4\pi }{3}$. (Lưu ý: nguồn in '2$\cos$ x = 0' không nhất quán với phương trình $f(x)=-1$; giữ nguyên theo nguồn.)
a) Đúng.
b) Sai.
c) Sai. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ là $-2$.
d) Đúng: $2\cos x=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pm 2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trên khoảng $(0;2\pi )$ phương trình có đúng 2 nghiệm $x=\frac{2\pi }{3},x=\frac{4\pi }{3}$.