Câu 6. (2 điểm) Cho dãy số thỏa mãn Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Đáp án đúng: Tự luận
Ta chứng minh , bằng quy nạp. Dễ thấy .
Giả sử , .
Ta thấy . Suy ra , .
Mặt khác nên là dãy số giảm.
Dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn.
Đặt . Khi đó do .
Vậy
Giả sử , .
Ta thấy . Suy ra , .
Mặt khác nên là dãy số giảm.
Dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn.
Đặt . Khi đó do .
Vậy