Tìm dạng hữu tỉ của số thập phân vô hạn tuần hoàn $P=2,\mathrm{13131313...}$

Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng này lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là $\frac{a}{b}(m)(a,b\in N)$, $a+b$ là bao nhiêu?

Bạn Khánh Linh thả quả bóng cao su từ độ cao 8 m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{1}{3}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn

Từ độ cao $55,8\mathrm{m}$ của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tính tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất?

Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $a$. Nối các trung điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$ của các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ ta được tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$. Tiếp tục nối các trung điểm $A_2$, $B_2$, $C_2$ của các cạnh $B_1{C}_1$, $C_1{A}_1$, $A_1{B}_1$ ta được tam giác đều $A_2{B}_2{C}_2$, thực hiện quá trình này đến vô hạn. Gọi $p_1,p_2,\dots ,p_n,\dots$ và $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$ theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác $ABC,A_1{B}_1{C}_1,\dots ,A_n{B}_n{C}_n,\dots$.

Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí một tấm bia hình vuông có độ dài cạnh bằng 4 mét. Người thợ thủ công quyết định vẽ các hình vuông lên tấm bia bằng cách: hình vuông mới có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, và tô kín màu lên hai tam giác đối diện (như hình vẽ bên dưới). Giả sử quá trình vẽ và tô theo quy luật đó được lặp lại vô hạn lần. Tổng diện tích mà người thợ thủ công tô được là bao nhiêu mét vuông?

Tổng vô hạn sau đây $S=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{2}{3^n}+...$ có giá trị bằng