Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $a$. Nối các trung điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$ của các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ ta được tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$. Tiếp tục nối các trung điểm $A_2$, $B_2$, $C_2$ của các cạnh $B_1{C}_1$, $C_1{A}_1$, $A_1{B}_1$ ta được tam giác đều $A_2{B}_2{C}_2$, thực hiện quá trình này đến vô hạn. Gọi $p_1,p_2,\dots ,p_n,\dots$ và $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$ theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác $ABC,A_1{B}_1{C}_1,\dots ,A_n{B}_n{C}_n,\dots$.

Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí một tấm bia hình vuông có độ dài cạnh bằng 4 mét. Người thợ thủ công quyết định vẽ các hình vuông lên tấm bia bằng cách: hình vuông mới có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, và tô kín màu lên hai tam giác đối diện (như hình vẽ bên dưới). Giả sử quá trình vẽ và tô theo quy luật đó được lặp lại vô hạn lần. Tổng diện tích mà người thợ thủ công tô được là bao nhiêu mét vuông?

Tổng vô hạn sau đây $S=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{2}{3^n}+...$ có giá trị bằng

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài bằng 1. Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông $ABCD$, ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông thứ hai, ta được hình vuông thứ ba. Tiếp tục như thế ta nhận được một dãy các hình vuông. Tìm tổng chu vi của dãy các hình vuông đó. $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\dots$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Ông An dự định dùng xen kẽ 2 màu vàng, xanh để sơn trang trí một bức tường hình chữ nhật theo cách sau: Đầu tiên dùng màu vàng sơn bức tường theo tấm bia hình chữ nhật $H_1$ có chiều dài, chiều rộng tính theo đơn vị mét lần lượt là $\sqrt{5}+1$ và 2, sau đó cắt hình $H_1$ thành một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của $H_1$ và hình chữ nhật $H_2$, rồi dùng màu xanh sơn tường theo hình $H_2$, … cứ tiếp tục quá trình như vậy cho đến khi hình chữ nhật tạo ra diện tích không đáng kể. Biết rằng tiền công để sơn mỗi mét vuông tường là 21 nghìn đồng. Hỏi ông An cần chuẩn bị tối đa bao nhiêu tiền công cho sơn? (kết quả tính theo đơn vị nghìn đồng và làm tròn đến hàng nghìn)

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,343434... (chu kỳ là 34) viết ở dạng phân số tối giản là $\frac{m}{n}$ với $m$, $n$ nguyên dương. Tính $m+n$.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{2}{3^n}$. Tổng của cấp số nhân này bằng