Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$. Biết $SB=a\sqrt{3}$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Giả thiết tam giác ABC vuông cân tại B với AB = BC = a (rút ra từ dữ kiện SB = a√3 và các kết luận). SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB, tam giác SAB vuông tại A: SA² = SB² − AB² = 3a² − a² = 2a² ⇒ SA = a√2 (a đúng). Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB, tam giác SBC vuông tại B (b đúng). Khoảng cách từ B đến (SAC) là d(B,(SAC)) = d(B,AC) = AB·BC/AC = a/√2. Sin góc giữa SB và (SAC) = d/SB = (a/√2)/(a√3) = 1/√6 = √6/6 ≈ 0,408 ≠ √6/8 (c sai). Góc nhị diện [S,BC,A]: vì AB ⊥ BC nên chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC là B, góc nhị diện là góc SBA với tan∠SBA = SA/AB = √2 ⇒ ∠SBA ≈ 54,74° < 55°, nên khẳng định 'không bé hơn 55°' sai (d sai). Kết quả Đ, Đ, S, S khớp đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABC) nên tam giác SAB vuông tại A: SA = √(SB² − AB²) = √(3a² − a²) = a√2.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC ⊥ AB (đáy vuông tại B) và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB, tam giác SBC vuông tại B.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(B,(SAC)) = d(B,AC) = a/√2, sin góc = (a/√2)/(a√3) = √6/6 ≈ 0,408, không bằng √6/8.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì AB ⊥ BC, góc nhị diện [S,BC,A] là góc SBA với tan∠SBA = SA/AB = √2, nên ∠SBA ≈ 54,74° < 55°.