Tổng vô hạn sau đây $S=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{2}{3^n}+...$ có giá trị bằng

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,343434... (chu kỳ là 34) viết ở dạng phân số tối giản là $\frac{m}{n}$ với $m$, $n$ nguyên dương. Tính $m+n$.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{2}{3^n}$. Tổng của cấp số nhân này bằng

Bạn Hòa thả quả bóng cao su từ độ cao 12 m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=4$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho bằng

Một hộp có 25 chiếc thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 25. Hai bạn An và Bình chơi trò chơi rút thẻ trong hộp như sau: hai bạn lần lượt rút thẻ, mỗi lượt rút ngẫu nhiên một thẻ rồi ghi lại số trên thẻ vừa rút sau đó trả lại thẻ vào hộp. An sẽ thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho 6, Bình sẽ thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho 5. Giả sử An chơi trước, tính xác suất để Bình thắng? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Gọi $C$ là nửa đường tròn đường kính $AB=2$, $C_1$ là hình gồm hai nửa hình tròn đường kính $\frac{AB}{2}$, $C_2$ là hình gồm bốn nửa hình tròn đường kính $\frac{AB}{4}$, …., $C_n$ là hình gồm $2^n$ nửa hình tròn đường kính $\frac{AB}{2^n}$,…. (Hình minh họa). Gọi $S_n$ là diện tích của hình $C_n$. Giá trị của $S_1+S_2+S_3+.....+S_n+.....$ bằng bao nhiêu?