Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1=4$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho bằng

Một hộp có 25 chiếc thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 25. Hai bạn An và Bình chơi trò chơi rút thẻ trong hộp như sau: hai bạn lần lượt rút thẻ, mỗi lượt rút ngẫu nhiên một thẻ rồi ghi lại số trên thẻ vừa rút sau đó trả lại thẻ vào hộp. An sẽ thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho 6, Bình sẽ thắng nếu rút được thẻ ghi số chia hết cho 5. Giả sử An chơi trước, tính xác suất để Bình thắng? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Gọi $C$ là nửa đường tròn đường kính $AB=2$, $C_1$ là hình gồm hai nửa hình tròn đường kính $\frac{AB}{2}$, $C_2$ là hình gồm bốn nửa hình tròn đường kính $\frac{AB}{4}$, …., $C_n$ là hình gồm $2^n$ nửa hình tròn đường kính $\frac{AB}{2^n}$,…. (Hình minh họa). Gọi $S_n$ là diện tích của hình $C_n$. Giá trị của $S_1+S_2+S_3+.....+S_n+.....$ bằng bao nhiêu?

Cho $(u_n)$ là cấp số nhân lùi vô hạn có số hàng đầu và công bội lần lượt là $u_1$ và $q$. Công thức nào sau đây dùng để dùng để tính tổng $S$ của cấp số nhân trên?

Tìm dạng hữu tỉ của số thập phân vô hạn tuần hoàn $P=2,13131313\dots$

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với $u_1=\frac{5}{4},q=-\frac{1}{3}$.
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn $2,(3)$ dưới dạng phân số.

Tính tổng $S=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\cdots +(-1{)}^n\frac{1}{3^n}+\cdots$