Tìm dạng hữu tỉ của số thập phân vô hạn tuần hoàn $P=2,13131313\dots$

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{8},-\frac{1}{16},\dots$ là:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\frac{1}{3};-\frac{1}{9};\frac{1}{27};-\frac{1}{81};\dots$ là:

(0,5 điểm) Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 81 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5\%.
a/ Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ 3 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của đơn vị mg).
b/ Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian rất dài (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của đơn vị mg).

Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 2. Người ta nối các trung điểm các cạnh của hình vuông này để tạo ra hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm các cạnh của hình vuông thứ hai để tạo ra hình vuông thứ ba (như hình bên dưới). Quá trình tạo hình vuông mới cứ thế tiếp tục đến vô hạn. Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông có được kể cả hình vuông ban đầu.

Trường THPT Kon Tum gồm có 2 dãy phòng học, một dãy thí nghiệm thực hành, một nhà Đa Năng và một khu Hiệu bộ. Trong đó dãy thí nghiệm thực hành gồm ba tầng, cao $12m$. Từ độ cao $12m$, một quả bóng chuyền hơi được thả rơi thẳng xuống mặt đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{5}$ độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Tính tổng độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Trường THPT Kon Tum gồm có 2 dãy phòng học, một dãy thí nghiệm thực hành, một nhà Đa Năng và một khu Hiệu bộ. Trong đó dãy thí nghiệm thực hành gồm ba tầng, cao $12m$. Từ độ cao $12m$, một quả bóng chuyền hơi được thả rơi thẳng xuống mặt đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{3}$ độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Tính tổng độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.