(0,5 điểm) Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 81 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5\%.
a/ Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ 3 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của đơn vị mg).
b/ Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian rất dài (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của đơn vị mg).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_n$ là lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ $n$. Ta có $a_1=81$. Trước mỗi lần uống, lượng thuốc cũ còn lại $5\%$, nên $a_{n+1}=a_n\cdot 0,05+81$.

a/ Tính trực tiếp:
- $a_1=81$ (mg)
- $a_2=81\cdot 0,05+81=4,05+81=85,05$ (mg)
- $a_3=85,05\cdot 0,05+81=4,2525+81=85,2525\approx 85,25$ (mg)

Vậy sau khi uống viên thuốc ngày thứ 3, lượng thuốc trong cơ thể khoảng $85,25$ mg.

b/ Ta có $a_{n+1}=0,05a_n+81$. Dạng chuẩn: $a_{n+1}-L=0,05(a_n-L)$ với $L=\frac{81}{1-0,05}=\frac{81}{0,95}=\frac{1620}{19}\approx 85,\mathrm{2631...}$

Suy ra $a_n=\frac{1620}{19}+\left(81-\frac{1620}{19}\right)(0,05{)}^{n-1}$. Vì $|0,05|<1$ nên $(0,05{)}^{n-1}\to 0$ khi $n\to \infty$, do đó khi dùng thuốc trong thời gian rất dài, lượng thuốc trong cơ thể tiến tới $\frac{1620}{19}\approx 85,26$ mg.

Vậy lượng thuốc trong cơ thể xấp xỉ $85,26$ mg.