(1 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap $(AB//CD)$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD,BC$ và $E$ là điểm thuộc đoạn $SA$ sao cho $SE=2EA$.
a/ Tìm giao điểm $K$ của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(SBC)$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IJE)$ và $(SAB)$.
b/ Gọi $F$ là giao điểm của $SB$ với $mp(IJE)$. Khi tứ giác $IJFE$ là bình hành, tính tỉ số diện tích của hai tam giác $KCD$ và $KBA$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 4 (1 điểm)**

**a/ Tìm K = AD ∩ (SBC):**

Vì $AB\parallel CD$ (đáy hình thang) nên $CD\parallel AB$, mà $AB\subset (SBC)$ và $CD\not\subset (SBC)$ suy ra $CD\parallel (SBC)$.

Xét hai đường thẳng $AD$ và $BC$ là hai cạnh bên của hình thang, chúng cắt nhau tại điểm $K$ (khi kéo dài). Vì $K\in BC\subset (SBC)$ và $K\in AD$ nên $K=AD\cap (SBC)$.

Vậy $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC$ (kéo dài).

**Tìm giao tuyến của $(IJE)$ và $(SAB)$:**

$I,J$ là trung điểm của $AD,BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của hình thang: $IJ\parallel AB$.

Hai mặt phẳng $(IJE)$ và $(SAB)$ đều chứa điểm $E$ (vì $E\in SA\subset (SAB)$ và $E\in (IJE)$), nên chúng cắt nhau theo đường thẳng đi qua $E$.

Mặt khác $IJ\parallel AB$, với $IJ\subset (IJE)$, $AB\subset (SAB)$, nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua $E$ và song song với $AB$ (đồng thời song song với $IJ$).

**b/ Tính tỉ số diện tích:**

Vì $IJFE$ là hình bình hành nên $EF\parallel IJ\parallel AB$, với $E\in SA$, $F\in SB$.

Trong tam giác $SAB$, do $EF\parallel AB$ ta có $\frac{SF}{FB}=\frac{SE}{EA}=2$, suy ra $\frac{SF}{SB}=\frac{2}{3}$ và $\frac{EF}{AB}=\frac{2}{3}$, tức $EF=\frac{2}{3}AB$.

Vì $IJFE$ là hình bình hành nên $EF=IJ$. Mặt khác $IJ=\frac{AB+CD}{2}$ (đường trung bình hình thang). Do đó:
$$\frac{AB+CD}{2}=\frac{2}{3}AB\Rightarrow CD=\frac{4}{3}AB-AB=\frac{1}{3}AB.$$

Vì $K=AD\cap BC$ và $CD\parallel AB$, tam giác $KCD$ đồng dạng với tam giác $KBA$ với tỉ số $\frac{CD}{AB}=\frac{1}{3}$.

Vậy tỉ số diện tích:
$$\frac{S_{KCD}}{S_{KBA}}={\left(\frac{CD}{AB}\right)}^2=\frac{1}{9}.$$

Tỉ số diện tích của hai tam giác $KCD$ và $KBA$ là $1:9$.