Một đa giác đều có 20 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu đỏ. Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên. Người ta chọn ngẫu nhiên từ X một tam giác. Xác suất để chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu là $\frac{a}{b}$ $(a\in \mathbb{N},b\in {\mathbb{N}}^{\ast };\frac{a}{b}$ là phân số tối giản$)$. Khi đó $a+b$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tam giác: $|X|=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{3}\right)=1140$.

Tam giác ba cạnh xanh: cả ba cạnh phải là cạnh của đa giác, tức ba đỉnh đôi một kề nhau trên chu trình 20 đỉnh. Điều này không thể xảy ra vì với ba đỉnh $A_i,A_{i+1},A_{i+2}$ thì $A_i{A}_{i+2}$ là đường chéo (màu đỏ) do $n=20>3$. Vậy số tam giác ba cạnh xanh bằng 0. (Lưu ý: 20 tam giác tạo bởi ba đỉnh liên tiếp có đúng 2 cạnh xanh và 1 cạnh đỏ, nên không được tính.)

Tam giác ba cạnh đỏ: ba đỉnh đôi một không kề nhau. Số cách chọn 3 đỉnh đôi một không kề nhau trên đường tròn 20 đỉnh là $\frac{20}{20-3}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{3}\right)=\frac{20}{17}\cdot 680=800$.

Vậy $P=\frac{800}{1140}=\frac{40}{57}$, $\gcd (40,57)=1$, nên $a+b=40+57=97$, khớp đáp án nguồn (mã 202, câu 19 = 97). Nhận xét: cách tính trong báo cáo lỗi trước đây đã đếm nhầm 20 tam giác 'ba đỉnh liên tiếp' là tam giác ba cạnh xanh; thực ra chúng có một cạnh là đường chéo màu đỏ nên không thuộc trường hợp thuận.