Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường phẳng $d_1:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+1}{1}$, $d_2:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=5-t\\ z=2t\end{array}$. Góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 4. Lấy $H$, $K$ lần lượt trên các cạnh $AB$, $AD$ sao cho $BH=3HA$, $AK=3KD$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $H$ lấy điểm $S$ sao cho $\widehat{SBH}=30^{\circ }$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Gọi $E$ là giao điểm của $CH$ và $BK$, cosin của góc giữa hai đường thẳng $SE$ và $BC$ bằng $\frac{m}{n\sqrt{39}}$ với $m\in \mathbb{Z};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $T=2m-n=31$.
b) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{16\sqrt{3}}{3}$.
c) $SH=\sqrt{3}$.
d) Khoảng cách giữa $AB$ và $SD$ bằng $\frac{4\sqrt{57}}{19}$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$. Xác định góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AP$.

Trên một sân khấu ca nhạc, kỹ thuật viên đã thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị mét). Hai đèn follow tạo ra hai tia sáng lần lượt có phương trình là $d_1:\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=2-t\\ z=-1+2t\end{array}$ ($t$ là tham số) và $d_2:\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{2}$. Tính góc giữa hai tia sáng $d_1$ và $d_2$ và làm tròn đến hàng phần chục của độ.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$; cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SB=a$. Gọi $H$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $SH=3HC$; lấy $I,K$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AC$ và $BC$.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $IK$.
b) Chứng minh cạnh $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(AHK)$

Trong không gian $Oxyz$, cho 2 đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-t\\ z=2\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t^{\prime }\\ z=2-t^{\prime }\end{array}$. Góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x+24}{3}=\frac{y-25}{4}=\frac{z}{-5}$ và ${\Delta }_2:\frac{x-26}{5}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ bằng $\alpha$ độ. Khi đó, giá trị của $\alpha$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?