Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6630 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6370 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M(-12;29;10)$ theo phương song song với giá của vectơ $\vec{u}(-12;17;5)$. Vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm nào dưới đây?

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6630 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6370 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M(-12;29;10)$ theo phương song song với giá của vectơ $\vec{u}(-12;17;5)$. Vị trí đầu tiên mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm nào dưới đây?

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh đặt tại các điểm có tọa độ lần lượt là $A(-1;2;-1)$, $B(1;4;0)$, $C(3;0;9)$, $D(7;10;-1)$ đang tiến hành theo dõi vật thể $M$ (coi là một chất điểm). Tại một thời điểm, cả 4 vệ tinh đồng thời phát tín hiệu về điểm $M$ và ngay lập tức nhận lại tín hiệu phản hồi sau những khoảng thời gian lần lượt là $t_A=0,4\text{ms}$, $t_B=0,2\text{ms}$, $t_C=\frac{2}{3}\text{ms}$, $t_D=0,4\text{ms}$. Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c=3.10^8\text{m/s}$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $O$ biết một đơn vị độ dài trên các trục bằng 10km trên thực tế (đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt biển (được coi như là mặt phẳng) với tia $Ox$ hướng về phía nam, tia $Oy$ hướng về phía đông, tia $Oz$ hướng thẳng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại $O$ có phạm vi theo dõi $30km$. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí $A$ ở độ sâu $10km$ so với mặt nước biển, cách $O$ $25km$ về phía nam và $15km$ về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí $B(-20;15;0)$.



a) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra trên biển di chuyển đến vị trí $C$ cách $O$ $15km$ về phía nam. Để tàu cảnh sát biển trong phạm vi theo dõi của radar thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách $O$ tối đa $15\sqrt{3}km$.
b) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí $B$.
c) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng $3\sqrt{58}km$.
d) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí $A$.

Trong không gian $Oxyz$ với đơn vị trên mỗi trục là mét, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A\left(-2;1;5\right)$ và chuyển động đều theo đường cáp cùng hướng với $\vec{u}=\left(0;-2;6\right)$ với tốc độ là 4 (m/s). Giả sử sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm $M\left(a;b;c\right)$. Giá trị của tổng $a+2b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị đo lấy theo km), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm $A(800;500;7)$ đến điểm $B(940;550;8)$ trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là $D(x;y;z)$. Tính giá trị biểu thức $x-y+z$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí $I(21;35;50)$ và ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km. Một flycam di chuyển theo một đường thẳng từ $I$ đến một đảo nhỏ tại $D(5121;658;0)$. Gọi điểm $M$ là vị trí cuối cùng trên đoạn $ID$ sao cho flycam còn nhận được ánh sáng từ ngọn hải đăng, tìm cao độ của điểm $M$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).