Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt biển (được coi như là mặt phẳng) với tia $Ox$ hướng về phía nam, tia $Oy$ hướng về phía đông, tia $Oz$ hướng thẳng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại $O$ có phạm vi theo dõi $30km$. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí $A$ ở độ sâu $10km$ so với mặt nước biển, cách $O$ $25km$ về phía nam và $15km$ về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí $B(-20;15;0)$.



a) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra trên biển di chuyển đến vị trí $C$ cách $O$ $15km$ về phía nam. Để tàu cảnh sát biển trong phạm vi theo dõi của radar thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách $O$ tối đa $15\sqrt{3}km$.
b) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí $B$.
c) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng $3\sqrt{58}km$.
d) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí $A$.

a) Đúng. Gọi $x(km)$, $x>0$ là khoảng cách từ tàu cảnh sát biển cách radar $O$ về phía đông. Khi đó tọa độ của tàu cảnh sát biển là $C(15;x;0)$. Ta có $OC=\sqrt{15^2+x^2+0^2}=\sqrt{x^2+225}$. Để radar phát hiện được tàu cảnh sát biển thì $OC\le 30km$. Suy ra $\sqrt{x^2+225}\le 30\iff x^2+225\le 900\iff x^2\le 675\iff x\le 15\sqrt{3}km$. Vậy tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách $O$ tối đa $15\sqrt{3}km$.

b) Đúng. Ta có $OB=\sqrt{(-20{)}^2+15^2+0^2}=25km<30km$ nên radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí $B$.

c) Sai (theo bảng đáp án chính thức). Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí $A$ ở độ sâu $10km$ so với mặt nước biển, cách $O$ $25km$ về phía nam và $15km$ về phía tây nên ta có tọa độ tàu thám hiểm là $A(25;-15;-10)$. Khi đó khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng $OA=\sqrt{25^2+(-15{)}^2+(-10{)}^2}=5\sqrt{38}km$ (khác $3\sqrt{58}km$).

d) Đúng. Ta thấy $OA=5\sqrt{38}km\approx 30,82km$, mà phạm vi theo dõi của radar là $30km$ nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí $A$.
a) Đúng. Gọi $x(km)$, $x>0$ là khoảng cách từ tàu cảnh sát biển cách radar $O$ về phía đông. Khi đó tọa độ của tàu cảnh sát biển là $C(15;x;0)$. Ta có $OC=\sqrt{15^2+x^2+0^2}=\sqrt{x^2+225}$. Để radar phát hiện được tàu cảnh sát biển thì $OC\le 30km$. Suy ra $\sqrt{x^2+225}\le 30\iff x^2+225\le 900\iff x^2\le 675\iff x\le 15\sqrt{3}km$. Vậy tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách $O$ tối đa $15\sqrt{3}km$.
b) Đúng. Ta có $OB=\sqrt{(-20{)}^2+15^2+0^2}=25km<30km$ nên radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí $B$.
c) Theo lời giải nguồn (trang 19, ghi nhãn "c) Đúng" nhưng tính ra $OA=\sqrt{25^2+(-15{)}^2+(-10{)}^2}=5\sqrt{38}km\approx 30,82km$, khác với giá trị $3\sqrt{58}km$ trong mệnh đề; theo bảng đáp án chính thức, mệnh đề c) là Sai.
d) Đúng. Ta thấy $OA=5\sqrt{38}km\approx 30,82km$, mà phạm vi theo dõi của radar là $30km$ nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí $A$.