Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;3;4)$, $B(6;-3;0)$ và mặt phẳng $(P)$ sao cho $d(B;(P))=2d(A;(P))$, $(P)$ cắt $AB$ tại $I(a;b;c)$ nằm trên đoạn thẳng $AB$. Tìm tọa độ điểm $I$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $B(2;-1;3)$, $C(-4;7;5)$. Gọi $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất. Giá trị $2x_0-3y_0+z_0$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(2;0;24) và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):3x+4y-z-8=0$ có bán kính R. Tính R. (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ $A(1;2;0)$ đến mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ bằng:

Trong một trò chơi mô phỏng bắn súng, một người chơi đặt điểm ngắm tại điểm $M$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ trong căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có kích thước $AB=15(m)$, $AD=45(m)$, $A{A}^{\prime }=10(m)$. Người chơi có nhiệm vụ từ điểm ngắm đã đặt bắn trúng một mục tiêu di động trên mặt phẳng $(D{A}^{\prime }{C}^{\prime })$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đó đến mục tiêu (đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 6. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left(1;1;1\right)$, $B\left(-1;2;0\right)$, $C\left(3;-1;2\right)$, $D\left(-23;20;-11\right)$. Điểm $M$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-y+2z+7=0$. Khi $M\left(a;b;c\right)$ thì biểu thức $T=3{\left(\frac{MA}{MD}\right)}^2+5{\left(\frac{MB}{MD}\right)}^2-7{\left(\frac{MC}{MD}\right)}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng $a^2+b^2+c^2$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $N(1;-8;-3)$ và mặt phẳng $(Q):6x-2y+3z-6=0$. Khoảng cách từ điểm $N$ đến mặt phẳng $(Q)$ bằng