Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $B(2;-1;3)$, $C(-4;7;5)$. Gọi $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất. Giá trị $2x_0-3y_0+z_0$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(2;0;24) và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):3x+4y-z-8=0$ có bán kính R. Tính R. (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ $A(1;2;0)$ đến mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ bằng:

Trong một trò chơi mô phỏng bắn súng, một người chơi đặt điểm ngắm tại điểm $M$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ trong căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có kích thước $AB=15(m)$, $AD=45(m)$, $A{A}^{\prime }=10(m)$. Người chơi có nhiệm vụ từ điểm ngắm đã đặt bắn trúng một mục tiêu di động trên mặt phẳng $(D{A}^{\prime }{C}^{\prime })$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đó đến mục tiêu (đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 6. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left(1;1;1\right)$, $B\left(-1;2;0\right)$, $C\left(3;-1;2\right)$, $D\left(-23;20;-11\right)$. Điểm $M$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-y+2z+7=0$. Khi $M\left(a;b;c\right)$ thì biểu thức $T=3{\left(\frac{MA}{MD}\right)}^2+5{\left(\frac{MB}{MD}\right)}^2-7{\left(\frac{MC}{MD}\right)}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng $a^2+b^2+c^2$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $N(1;-8;-3)$ và mặt phẳng $(Q):6x-2y+3z-6=0$. Khoảng cách từ điểm $N$ đến mặt phẳng $(Q)$ bằng

(0,5 điểm). Trong quá trình kiểm tra chất lượng tự động bằng công nghệ quét 3D laser, phần mềm phân tích ghi nhận mặt đáy của một rãnh gai lốp xe là một mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1;1;1)$, $C(-1;2;1)$ và $D(2;-1;3)$. Máy quét phát hiện một điểm lỗi lồi lên (khối cao su dư) tại vị trí $B(4;3;2)$ (đơn vị tọa độ tính bằng milimét). Kỹ sư cần tính chiều cao của khối lỗi này so với mặt đáy rãnh gai lốp để đối chiếu với tiêu chuẩn kiểm định. Tính chiều cao đó.