Cho hàm số $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.

a) Xét hàm số $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, ta có:
$$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2},\forall x\ne 1$$
Do $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $0<x<1$ và $1<x<2$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$. Vậy a) đúng.
b) Xét phương trình:
$$f^{\prime }(x)=0\iff 1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=1\iff x=2\text{ hoặc }x=0$$
Vậy ta được hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $(C)$ là $A(0;1)$ và $B(2;5)$.

Ta có $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot d(B,OA)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot d(B,Oy)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1$. Vậy b) đúng.
c) Ta có:
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)=-\infty$$
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}-x-2\right)=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}-x-2\right)=0$$
Vậy đồ thị $(C)$ nhận đường thẳng $(d_1)$ có phương trình $x=1$ là tiệm cận đứng và nhận đường thẳng $(d_2)$ có phương trình $x-y+2=0$ là tiệm cận xiên.
Xét điểm $M(x,y)\in (C)$ bất kì, ta có:
$$d(M,d_1)+d(M,d_2)=|x-1|+\frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}$$
Thay $y=x+2+\frac{1}{x-1}$, ta được:
$$d(M,d_1)+d(M,d_2)=|x-1|+\frac{\left|x-x-2-\frac{1}{x-1}+2\right|}{\sqrt{2}}=|x-1|+\frac{1}{\sqrt{2}|x-1|}\ge 2.\sqrt{|x-1|.\frac{1}{\sqrt{2}|x-1|}}=\sqrt{2\sqrt{2}}$$
Dấu "$=$" xảy ra tại $(x-1{)}^2=\frac{1}{\sqrt{2}}$ hay $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}+1$. Vậy c) sai.
d) Ta biết rằng phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $(x_0,y_0)$ bất kì trên đồ thị $(C)$ có dạng:
$$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Để tiếp tuyến này đi qua $M(a;0)$ thì:
$$f^{\prime }(x_0)(a-x_0)+f(x_0)=0$$
$$\iff \left(1-\frac{1}{(x_0-1{)}^2}\right)(a-x_0)+\left(x_0+2+\frac{1}{x_0-1}\right)=0$$
$$\iff \left[(x_0-1{)}^2-1\right](a-x_0)+(x_0+2)(x_0-1{)}^2+(x_0-1)=0$$
$$\iff (x_0^2-2x_0)(a-x_0)+(x_0+2)(x_0^2-2x_0+1)+(x_0-1)=0$$
$$\iff (a+2)x_0^2-2(a+1)x_0+1=0$$
Số tiếp tuyến kẻ được từ $M$ đến $(C)$ bằng số nghiệm của phương trình:
$$(a+2)x^2-2(a+1)x+1=0$$
Xét ${\Delta }^{\prime }=(a+1{)}^2-(a+2)=a^2+a-1$. Tuy nhiên không phải lúc nào ${\Delta }^{\prime }$ cũng không âm. Chẳng hạn với $a=0$, ta được $\Delta =-1<0$. Tức từ $M(0;0)$ không kẻ được tiếp tuyến tới $(C)$. Vậy d) sai.
Chọn đáp án a đúng | b đúng | c sai | d sai
a) Xét hàm số $y=x+2+\frac{1}{x-1}$ trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, ta có:
$$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2},\forall x\ne 1$$
Do $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $0<x<1$ và $1<x<2$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$. Vậy a) đúng.
b) Xét phương trình:
$$f^{\prime }(x)=0\iff 1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=1\iff x=2\text{ hoặc }x=0$$
Vậy ta được hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $(C)$ là $A(0;1)$ và $B(2;5)$.

Ta có $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot d(B,OA)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot d(B,Oy)=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1$. Vậy b) đúng.
c) Ta có:
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)=-\infty$$
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}-x-2\right)=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+2+\frac{1}{x-1}-x-2\right)=0$$
Vậy đồ thị $(C)$ nhận đường thẳng $(d_1)$ có phương trình $x=1$ là tiệm cận đứng và nhận đường thẳng $(d_2)$ có phương trình $x-y+2=0$ là tiệm cận xiên.
Xét điểm $M(x,y)\in (C)$ bất kì, ta có:
$$d(M,d_1)+d(M,d_2)=|x-1|+\frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}$$
Thay $y=x+2+\frac{1}{x-1}$, ta được:
$$d(M,d_1)+d(M,d_2)=|x-1|+\frac{\left|x-x-2-\frac{1}{x-1}+2\right|}{\sqrt{2}}=|x-1|+\frac{1}{\sqrt{2}|x-1|}\ge 2.\sqrt{|x-1|.\frac{1}{\sqrt{2}|x-1|}}=\sqrt{2\sqrt{2}}$$
Dấu "$=$" xảy ra tại $(x-1{)}^2=\frac{1}{\sqrt{2}}$ hay $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}+1$. Vậy c) sai.
d) Ta biết rằng phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $(x_0,y_0)$ bất kì trên đồ thị $(C)$ có dạng:
$$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Để tiếp tuyến này đi qua $M(a;0)$ thì:
$$f^{\prime }(x_0)(a-x_0)+f(x_0)=0$$
$$\iff \left(1-\frac{1}{(x_0-1{)}^2}\right)(a-x_0)+\left(x_0+2+\frac{1}{x_0-1}\right)=0$$
$$\iff \left[(x_0-1{)}^2-1\right](a-x_0)+(x_0+2)(x_0-1{)}^2+(x_0-1)=0$$
$$\iff (x_0^2-2x_0)(a-x_0)+(x_0+2)(x_0^2-2x_0+1)+(x_0-1)=0$$
$$\iff (a+2)x_0^2-2(a+1)x_0+1=0$$
Số tiếp tuyến kẻ được từ $M$ đến $(C)$ bằng số nghiệm của phương trình:
$$(a+2)x^2-2(a+1)x+1=0$$
Xét ${\Delta }^{\prime }=(a+1{)}^2-(a+2)=a^2+a-1$. Tuy nhiên không phải lúc nào ${\Delta }^{\prime }$ cũng không âm. Chẳng hạn với $a=0$, ta được $\Delta =-1<0$. Tức từ $M(0;0)$ không kẻ được tiếp tuyến tới $(C)$. Vậy d) sai.