Cho hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x+4}$ và $g(x)=x\ln x$.

a) Ta có:
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-1}{x+4}=1;\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-1}{x+4}=1$$
$$\underset{x\to -4^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -4^{+}}{\lim }\frac{x-1}{x+4}=-\infty ;\underset{x\to -4^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -4^{-}}{\lim }\frac{x-1}{x+4}=+\infty$$
Vậy hàm số $y=f(x)$ nhận đường thẳng $x=-4$ làm tiệm cận đứng và nhận đường thẳng $y=1$ làm tiệm cận ngang. Do đó nhận điểm $I(-4;1)$ là tâm.
Mặt khác, điểm $I(-4;1)$ không nằm trên đường thẳng $y=-4x$ nên a) sai.
b) Xét hàm số $y=g(x)$ trên $(0;+\infty )$, ta có $g^{\prime }(x)=\ln x+1,\forall x>0$.
Xét phương trình $g^{\prime }(x)=0\iff \ln x=-1\iff x=e^{-1}$.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $g(x)$ không đồng biến trên $(0;+\infty )$. Do đó b) sai.
c) Xét phương trình:
$$(x+4)f^{\prime }(x)-g(x)=0\iff (x+4).\frac{5}{(x+4{)}^2}-x\ln x=0\iff \frac{5}{x+4}-x\ln x=0$$
Xét hàm số $h(x)=\frac{5}{x+4}-x\ln x$ trên $(0;+\infty )$, ta có:
$$h^{\prime }(x)=\frac{-5}{(x+4{)}^2}-\ln x-1,\Rightarrow h^{\prime \prime }(x)=\frac{10}{(x+4{)}^3}-\frac{1}{x}=\frac{-x^3-12x^2-38x-64}{x(x+4{)}^3}<0,\forall x>0$$
Vậy $h^{\prime }(x)$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Do đó phương trình $h^{\prime }(x)=0$ có không quá một nghiệm trên $(0;+\infty )$. Mặt khác, ta có $h^{\prime }(1)=-\frac{6}{5}<0$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }h(x)>0$. Do đó, theo định lý giá trị trung gian, phương trình $h^{\prime }(x)=0$ có duy nhất một nghiệm trong $(0;1)$ và cũng có duy nhất một nghiệm trong $(0;+\infty )$.
Gọi $a$ là nghiệm duy nhất của phương trình $h^{\prime }(x)=0$. Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên và chú ý $h(1)=1>0$. Ta được phương trình $(x+4)f^{\prime }(x)-g(x)=0$ có nghiệm duy nhất trên $(0;+\infty )$. Vậy c) đúng.
d) Ta có $h(2)=\frac{5}{6}-\ln 2-1=-\frac{1}{6}-\ln 2<0$. Từ đây, đối chiếu với bảng biến thiên thu được, ta được d) sai.
Chọn đáp án a sai | b sai | c đúng | d sai
a) Ta có:
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-1}{x+4}=1;\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-1}{x+4}=1$$
$$\underset{x\to -4^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -4^{+}}{\lim }\frac{x-1}{x+4}=-\infty ;\underset{x\to -4^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -4^{-}}{\lim }\frac{x-1}{x+4}=+\infty$$
Vậy hàm số $y=f(x)$ nhận đường thẳng $x=-4$ làm tiệm cận đứng và nhận đường thẳng $y=1$ làm tiệm cận ngang. Do đó nhận điểm $I(-4;1)$ là tâm.
Mặt khác, điểm $I(-4;1)$ không nằm trên đường thẳng $y=-4x$ nên a) sai.
b) Xét hàm số $y=g(x)$ trên $(0;+\infty )$, ta có $g^{\prime }(x)=\ln x+1,\forall x>0$.
Xét phương trình $g^{\prime }(x)=0\iff \ln x=-1\iff x=e^{-1}$.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $g(x)$ không đồng biến trên $(0;+\infty )$. Do đó b) sai.
c) Xét phương trình:
$$(x+4)f^{\prime }(x)-g(x)=0\iff (x+4).\frac{5}{(x+4{)}^2}-x\ln x=0\iff \frac{5}{x+4}-x\ln x=0$$
Xét hàm số $h(x)=\frac{5}{x+4}-x\ln x$ trên $(0;+\infty )$, ta có:
$$h^{\prime }(x)=\frac{-5}{(x+4{)}^2}-\ln x-1,\Rightarrow h^{\prime \prime }(x)=\frac{10}{(x+4{)}^3}-\frac{1}{x}=\frac{-x^3-12x^2-38x-64}{x(x+4{)}^3}<0,\forall x>0$$
Vậy $h^{\prime }(x)$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Do đó phương trình $h^{\prime }(x)=0$ có không quá một nghiệm trên $(0;+\infty )$. Mặt khác, ta có $h^{\prime }(1)=-\frac{6}{5}<0$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }h(x)>0$. Do đó, theo định lý giá trị trung gian, phương trình $h^{\prime }(x)=0$ có duy nhất một nghiệm trong $(0;1)$ và cũng có duy nhất một nghiệm trong $(0;+\infty )$.
Gọi $a$ là nghiệm duy nhất của phương trình $h^{\prime }(x)=0$. Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên và chú ý $h(1)=1>0$. Ta được phương trình $(x+4)f^{\prime }(x)-g(x)=0$ có nghiệm duy nhất trên $(0;+\infty )$. Vậy c) đúng.
d) Ta có $h(2)=\frac{5}{6}-\ln 2-1=-\frac{1}{6}-\ln 2<0$. Từ đây, đối chiếu với bảng biến thiên thu được, ta được d) sai.