(1.0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $B(3;-4;0)$ và $C(6;0;0)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc miền trong tam giác $OBC$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến các đỉnh của tam giác $OBC$ đạt giá trị nhỏ nhất (với $O$ là gốc tọa độ).

Ta có:
$$\left|\overrightarrow{OB}\right|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2+0^2}=5$$
$$\left|\overrightarrow{OC}\right|=\sqrt{6^2+0^2+0^2}=6$$
$$\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{(6-3{)}^2+(0-(-4){)}^2+0^2}=5$$
Vậy $OC>OB=BC$. Do $(OBC)\equiv (Oxy)$ nên ta xét điểm $M$ thuộc miền trong tam giác $OBC$ thì cũng nằm trong mặt phẳng $Oxy$. Lúc này, ta xét tọa độ tương ứng của các đỉnh $O,B,C,M$ trong mặt phẳng $Oxy$ tương ứng với bộ số gồm hoành độ và tung độ của chính điểm đó trong không gian $Oxyz$.

Do $BO=BC$ nên $B$ nằm trên đường trung trực của $OC$. Đường thẳng này đi qua $B(3,-4)$ và nhận $\overrightarrow{OC}(6,0)$ làm vecto pháp tuyến nên có phương trình $6(x-3)+0(y+4)=0\iff x-3=0\iff x=3$. Với mỗi điểm $M$ nằm trong tam giác $OBC$ cận tại $B$. Gọi $M^{\prime }$ là điểm đối xứng với $M$ qua đường thẳng $x=3$ và $N$ là giao điểm của $M{M}^{\prime }$ với đường thẳng $x=3$. Do đó $N$ là trung điểm $M{M}^{\prime }$.
Ta biết rằng với hai vecto $\vec{a},\vec{b}$ bất kì trong mặt phẳng, ta luôn có bất đẳng thức $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$. Khi đó ta có:
$$\left|2\overrightarrow{ON}\right|=\left|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{O{M}^{\prime }}\right|\le \left|\overrightarrow{OM}\right|+\left|\overrightarrow{O{M}^{\prime }}\right|\Rightarrow 2ON\le OM+O{M}^{\prime }$$
$$\left|2\overrightarrow{CN}\right|=\left|\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{C{M}^{\prime }}\right|\le \left|\overrightarrow{CM}\right|+\left|\overrightarrow{C{M}^{\prime }}\right|\Rightarrow 2CN\le CM+C{M}^{\prime }$$
$$\left|2\overrightarrow{BN}\right|=\left|\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{B{M}^{\prime }}\right|\le \left|\overrightarrow{BM}\right|+\left|\overrightarrow{B{M}^{\prime }}\right|\Rightarrow 2BN\le BM+B{M}^{\prime }$$
Từ các bất đẳng thức vừa thu được và tính chất đối xứng trục, ta được:
$$2(NO+NC+NB)\le MO+MC+MB+M^{\prime }O+M^{\prime }C+M^{\prime }B=2(MO+MC+MB)$$
Vậy ta được $MO+MC+MB\ge NO+NC+NB$ với mọi $M$ bất kì và $N$ là hình chiếu của $M$ trên đường thẳng $x=3$.
Do đó, để tìm điểm $M$ thỏa mãn bài toán, ta chỉ cần xét điểm $M$ trên đường thẳng $x=3$ hay $M(3;y_M)$.
Ta có:
$$MO=\sqrt{3^2+y_M^2}=\sqrt{9+y_M^2}$$
$$MC=\sqrt{(6-3{)}^2+(0-y_M{)}^2}=\sqrt{9+y_M^2}$$
$$MB=\sqrt{(3-3{)}^2+(-4-y_M{)}^2}=\sqrt{(y_M+4{)}^2}=|y_M+4|=y_M+4$$
do $M$ thuộc miền trong tam giác $OBC$ nên $-4\le y_M\le 0$.
Vậy ta được:
$$MO+MC+MB=2\sqrt{y_M^2+9}+y_M+4=f(y_M)$$
Xét hàm số $f(x)=2\sqrt{x^2+9}+x+4$ trên $[-4;0]$, ta có: $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+9}}+1,\forall x\in [-4;0]$. Xét phương trình:
$$f^{\prime }(x)=0\iff \frac{2x}{\sqrt{x^2+9}}+1=0\iff \sqrt{x^2+9}=-2x\iff x^2+9=4x^2\iff x^2=3\iff x=\sqrt{3}\text{ (loại) hoặc }x=-\sqrt{3}\text{ (nhận)}$$
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ là $3\sqrt{3}+4$ khi và chỉ khi $x=-\sqrt{3}$.
Vậy điểm $M$ thỏa yêu cầu bài toán có tọa độ là $\left(3;-\sqrt{3}\right)$ trong mặt phẳng $Oxy$ hay $\left(3;-\sqrt{3};0\right)$ trong không gian $Oxyz$.