Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0),B(6;0;0)$, $D(0;6;0)$, $A^{\prime }(0;0;6)$. Gọi $P$ là trung điểm $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $K$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oyz)$.

a) Ta có:
$$\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}=(0;6;0)\Rightarrow D^{\prime }(0;6;6)$$
$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(0;6;0)\Rightarrow C(6;6;0)$$
$$\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=(6;6;0)\Rightarrow C^{\prime }(6;6;6)$$
Vậy tọa độ đỉnh $P$ là $(3;6;6)$. Do đó tọa độ trọng tâm của tam giác $PCD$ là $(3;6;2)$. Do đó a) sai.
b) Ta có: $\overrightarrow{AP}=(3;6;6)$; $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(0;6;0)$. Vậy ta được:
$$\cos \left(\overrightarrow{AP};\overrightarrow{BC}\right)=\frac{\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|}=\frac{3.0+6.6+6.0}{\sqrt{3^2+6^2+6^2}.\sqrt{0^2+6^2+0^2}}=\frac{36}{54}=\frac{2}{3}$$
Vậy góc giữa hai vecto $\overrightarrow{AP}$ và $\overrightarrow{BC}$ khác $60^{\circ }$. Do đó b) sai.
c) Ta có: $V_{A.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{3}{V}_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{3}.6^3=72$. Vậy c) đúng.
d) Do $K$ thuộc $(Oyz)$ nên hoành độ của $K$ là 0. Đặt $K(0;y_K;z_K)$ là tọa độ của điểm $K$. Gọi $T$ là trọng tâm của tam giác $PCD$. Khi đó ta được $T(3;6;2)$. Ta có:
$$\left|\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}\right|=\left|3\overrightarrow{KT}\right|=3KT$$
Mặt khác, ta có:
$$3KT=3\sqrt{(3-0{)}^2+(6-y_K{)}^2+(2-z_K{)}^2}\ge 3.3=9$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $y_K=6$ và $z_K=2$ hay $K(0;6;2)$. Vậy d) sai.
Chọn đáp án a sai | b sai | c đúng | d sai
a) Ta có:
$$\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}=(0;6;0)\Rightarrow D^{\prime }(0;6;6)$$
$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(0;6;0)\Rightarrow C(6;6;0)$$
$$\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=(6;6;0)\Rightarrow C^{\prime }(6;6;6)$$
Vậy tọa độ đỉnh $P$ là $(3;6;6)$. Do đó tọa độ trọng tâm của tam giác $PCD$ là $(3;6;2)$. Do đó a) sai.
b) Ta có: $\overrightarrow{AP}=(3;6;6)$; $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(0;6;0)$. Vậy ta được:
$$\cos \left(\overrightarrow{AP};\overrightarrow{BC}\right)=\frac{\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AP}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|}=\frac{3.0+6.6+6.0}{\sqrt{3^2+6^2+6^2}.\sqrt{0^2+6^2+0^2}}=\frac{36}{54}=\frac{2}{3}$$
Vậy góc giữa hai vecto $\overrightarrow{AP}$ và $\overrightarrow{BC}$ khác $60^{\circ }$. Do đó b) sai.
c) Ta có: $V_{A.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{3}{V}_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{3}.6^3=72$. Vậy c) đúng.
d) Do $K$ thuộc $(Oyz)$ nên hoành độ của $K$ là 0. Đặt $K(0;y_K;z_K)$ là tọa độ của điểm $K$. Gọi $T$ là trọng tâm của tam giác $PCD$. Khi đó ta được $T(3;6;2)$. Ta có:
$$\left|\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}\right|=\left|3\overrightarrow{KT}\right|=3KT$$
Mặt khác, ta có:
$$3KT=3\sqrt{(3-0{)}^2+(6-y_K{)}^2+(2-z_K{)}^2}\ge 3.3=9$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $y_K=6$ và $z_K=2$ hay $K(0;6;2)$. Vậy d) sai.