Một robot vẽ hoa văn trang trí trên một tấm nhựa hình vuông có diện tích $1m^2$ theo nguyên lí tự lập: lần thứ nhất, chia hình vuông thành 9 hình vuông bằng nhau và vẽ hoa văn hình vuông ở chính giữa; ở mỗi lần tiếp theo, chỉ với các hình vuông chưa vẽ hoa văn, mỗi hình vuông tiếp tục chia thành 9 hình vuông bằng nhau và vẽ hoa văn ở hình vuông trung tâm (hình minh họa bên dưới). Quy trình trên được thực hiện liên tiếp n lần $\left(n\in N^{\ast }\right)$.

Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $u_n$ là diện tích phần đã được robot tô hoa văn trang trí ở lần thứ $n$, ta có:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{9}\\ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{9}(1-u_n)=\frac{8}{9}{u}_n+\frac{1}{9};n=1,2,3,\dots \end{array}$$
a) Ta có $u_1=\frac{1}{9}$. Vậy a) đúng.
b) Ta có $u_2=\frac{8}{9}{u}_1+\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{17}{81}\Rightarrow 1-u_2=\frac{64}{81}$. Vậy diện tích phần chưa được robot vẽ hoa văn ở lần thứ hai là $\frac{64}{81}$. Do đó b) sai.
c) Ta có: $u_3=\frac{8}{9}{u}_2+\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.\frac{17}{81}+\frac{1}{9}=\frac{217}{729}$. Vậy c) đúng.
d) Từ cách xây dựng dãy số $(u_n)$, ta được:
$$u_{n+1}-1=\frac{8}{9}(u_n-1);n=1,2,3,\dots$$
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $v_n=u_n-1$, khi đó ta được: $\{\begin{array}{l}{v}_1=-\frac{8}{9}\\ v_{n+1}=\frac{8}{9}{v}_n;n=1,2,3,\dots \end{array}$.
Vậy $(v_n)$ là cấp số nhân. Do đó ta được: $v_n={\left(\frac{8}{9}\right)}^{n-1}{v}_1=-{\left(\frac{8}{9}\right)}^n;n=1,2,3,\dots$ Do đó ta được $u_n=v_n+1=1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^n;n=1,2,3,\dots$ Vậy d) sai.
Chọn đáp án a đúng | b sai | c đúng | d sai
a) Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $u_n$ là diện tích phần đã được robot tô hoa văn trang trí ở lần thứ $n$, ta có:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{9}\\ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{9}(1-u_n)=\frac{8}{9}{u}_n+\frac{1}{9};n=1,2,3,\dots \end{array}$$
Ta có $u_1=\frac{1}{9}$. Vậy a) đúng.
b) Ta có $u_2=\frac{8}{9}{u}_1+\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{17}{81}\Rightarrow 1-u_2=\frac{64}{81}$. Vậy diện tích phần chưa được robot vẽ hoa văn ở lần thứ hai là $\frac{64}{81}$. Do đó b) sai.
c) Ta có: $u_3=\frac{8}{9}{u}_2+\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.\frac{17}{81}+\frac{1}{9}=\frac{217}{729}$. Vậy c) đúng.
d) Từ cách xây dựng dãy số $(u_n)$, ta được:
$$u_{n+1}-1=\frac{8}{9}(u_n-1);n=1,2,3,\dots$$
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $v_n=u_n-1$, khi đó ta được: $\{\begin{array}{l}{v}_1=-\frac{8}{9}\\ v_{n+1}=\frac{8}{9}{v}_n;n=1,2,3,\dots \end{array}$.
Vậy $(v_n)$ là cấp số nhân. Do đó ta được: $v_n={\left(\frac{8}{9}\right)}^{n-1}{v}_1=-{\left(\frac{8}{9}\right)}^n;n=1,2,3,\dots$ Do đó ta được $u_n=v_n+1=1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^n;n=1,2,3,\dots$ Vậy d) sai.