Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=3$ và $u_n-u_{n-1}=2n-3$ với mọi $n\ge 2$. Tìm giá trị $\frac{u_{1000}}{109}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:
$$f(x+a)=f(x)+f(a)-2f(x)\cdot f(a)\forall x,a\in \mathbb{R}$$
$$f(1)=1$$

Giá trị của $H=f(2027)+f(2026)$ là ?

(7,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $(u_n-u_{n-1})(u_n-1)(u_{n-1}+1)=u_n{u}_{n-1}$ và $0<u_n\le u_{n-1}$ với mọi $n\ge 2$.

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$.

b) Đặt $S_n=u_1+u_2+\dots +u_n$. Chứng minh rằng, $\ln \left(\frac{n}{2}+1\right)<S_n<\ln (n+1)$ với mọi $n\ge 1$.

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=3,\\ u_{n+1}=\frac{2(n+1)u_n-n-2}{n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$
a. (3,0 điểm) Tính $\lim \left(\frac{u_n}{n}-2^n\right)$.
b. (4,0 điểm) Có hay không số $i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $u_i{u}_{i+1}=m\cdot 2027^2$ với $m$ là một số nguyên dương? Tại sao?

Tìm tất cả các số chính phương trong dãy số $x_0=1,x_1=2,x_{n+1}=4x_n-x_{n-1}\forall n\ge 1$.

Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật được thể hiện như trong hình sau:

Hỏi cần bao nhiêu que diêm để xếp thành hình tháp có 11 tầng?

Cho dãy số $(u_n)$ xác định $$u_1=11,u_{n+1}=10u_n+1-9n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$ Khi đó $u_{2025}$ bằng