Tìm tất cả các số chính phương trong dãy số $x_0=1,x_1=2,x_{n+1}=4x_n-x_{n-1}\forall n\ge 1$.

Để ý $x_0=1$ là một số chính phương trong dãy trên.

Ta sẽ chứng minh không còn số chính phương nào khác, thật vậy giả sử phản chứng.

Gọi $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn điều này. Khi đó $x_n\equiv 0,1,4(\mathrm{mod}5)$.

Để ý $x_n\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ nếu $n\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ và $x_n\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ nếu $n\equiv 1,2(\mathrm{mod}3)$.

Do đó $n$ phải chia hết cho 3, từ đó tồn tại $m$ nguyên dương để $n=3m$.

Đặt $\alpha =2+\sqrt{3}$ và $\beta =2-\sqrt{3}$ thì $\alpha \beta =1$ và $x_n=\frac{{\alpha }^n+{\beta }^n}{2}$ với mọi $n$. Khi đó

$$x_{3m}=\frac{{\alpha }^{3m}+{\beta }^{3m}}{2}=\frac{({\alpha }^m+{\beta }^m{)}^3-3{\alpha }^m{\beta }^m({\alpha }^m+{\beta }^m)}{2}=4x_m^3-3x_m$$

Để ý thêm $x_n\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ với $n$ chẵn và $x_n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ với $n$ lẻ nên $x_n$ không chia hết cho 3 với mọi $n$.

Từ đó $\gcd (x_m,4x_m^2-3)=\gcd (x_m,3)=1$.

Mà $x_{3m}=x_m(4x_m^2-3)$ và $x_{3m}$ là số chính phương nên $x_m$ là số chính phương, vô lý vì $3m=n$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $x_n$ là số chính phương.

Vì vậy không tồn tại số nguyên dương $n$ để $x_n$ là số chính phương, do đó số chính phương duy nhất trong dãy là $x_0=1$.